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Mathematik-Online-Test:

Lineare Algebra, Test 8


Aufgabe 1:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

In einem affinen Raum gibt es zu je zwei Punkten ...

a)
... genau einen Vektor, der die Punkte miteinander verbindet.

b)
... höchstens einen Vektor, der die Punkte miteinander verbindet.

c)
... genau zwei Vektoren, die die Punkte miteinander verbinden.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)

Aufgabe 2:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

In einem affinen Raum gibt es zu jedem Paar $ (P, v)$ bestehend aus einem aus Punkt $ P$ und einem Vektor $ v$ ...

a)
... genau einen Punkt $ Q$ mit $ P+v=Q$.

b)
... genau zwei Punkte $ Q_1 \not= Q_2$ mit $ \overrightarrow{Q_1Q_2}=v$ .

c)
... mindestens einen von $ P$ verschiedenen Punkt $ Q$ mit $ P+v
= Q+v$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)

Aufgabe 3:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

In einem affinen Raum gibt es zu je drei verschiedenen Punkten $ P, Q, R$ ...

a)
... einen Punkt $ S$, so dass $ P, Q, R, S$ die Eckpunkte eines Parallelogramms beschreiben.

b)
... zwei Punkte $ S$ und $ T$, so dass $ S$ Mittelpunkt ist zwischen $ P$ und $ Q$, und $ T$ Mittelpunkt zwischen $ Q$ und $ R$.

c)
... einen Punkt $ S$, so dass $ P, Q, R, S$ die Eckpunkte eines Trapezes beschreiben.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)

Aufgabe 4:
Die Anzahl der Punkte, die eine affine Gerade enthält,
ist endlich.
ist unendlich.
hängt vom zugrundeliegenden Körper ab.

Aufgabe 5:
Sei $ A$ ein affiner Raum und seien $ L_1$, $ L_2$, $ L_3$ Unterräume von $ A$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
Ist dim$ L_1 \, \leq \,$   dim$ L_2 \, \leq \,$   dim$ L_3$, dann folgt aus $ L_1 \vert\vert L_2$ und $ L_2 \vert\vert L_3$ auch $ L_1 \vert\vert L_3$.

b)
Ist dim$ L_1 \, < \,$   dim$ L_2 \, < \,$   dim$ L_3$, dann folgt aus $ L_1 \vert\vert L_2$ und $ L_2 \vert\vert L_3$ auch $ L_1 \vert\vert L_3$.

c)
Ist dim$ L_1 \, \leq \,$   dim$ L_2 \, \leq \,$   dim$ L_3$, dann folgt aus $ L_1 \vert\vert L_2$ und $ L_2 \vert\vert L_1$ auch $ L_1 \vert\vert L_3$.

d)
Ist dim$ L_1 \, \geq \,$   dim$ L_2 \, \geq \,$   dim$ L_3$, dann folgt aus $ L_1 \vert\vert L_2$ und $ L_2 \vert\vert L_3$ auch $ L_1 \vert\vert L_3$.

e)
Ist dim$ L_1 \, < \,$   dim$ L_2$ und dim$ L_1 \, = \,$   dim$ L_3$, dann folgt aus $ L_1 \vert\vert L_2$ und $ L_2 \vert\vert L_3$ auch $ L_1 \vert\vert L_3$.

f)
Ist dim$ L_1 \, \leq \,$   dim$ L_2$ und dim$ L_2 \, = \,$   dim$ L_3$, dann folgt aus $ L_1 \vert\vert L_2$ und $ L_2 \vert\vert L_3$ auch $ L_1 \vert\vert L_3$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Aufgabe 6:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Seien $ A$ und $ \tilde A$ affine Räume über einem Körper mit von zwei verschiedener Charakteristik. Sei weiterhin $ \alpha : A \longrightarrow \tilde A$ eine Abbildung. Dann ist $ \alpha$ affin, falls ...

a)
... die Abbildung $ \alpha$ geradentreu ist.

b)
... die Abbildung $ \alpha$ teilverhältnistreu ist.

c)
... die Abbildung $ \alpha$ unterraumtreu ist.

d)
... die Abbildung $ \alpha$ parallelentreu ist.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)

Aufgabe 7:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Jedes Quadrat in der reellen Ebene kann von einer affinen Abbildung abgebildet werden auf ...

a)
... einen Punkt.

b)
... ein (nicht ausgeartetes) Rechteck.

c)
... einen Kreis.

d)
... ein (nicht ausgeartetes) Dreieck.

e)
... ein (nicht ausgeartetes) Parallelogramm.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)

Aufgabe 8:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
Translationen sind affine Abbildungen.

b)
Translationen besitzen einen Fixpunkt.

c)
Translationen besitzen eine Fixgerade.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)

Aufgabe 9:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
Zentrische Streckungen sind affine Abbildungen.

b)
Zentrische Streckungen besitzen einen Fixpunkt.

c)
Zentrische Streckungen besitzen eine Fixgerade.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)

Aufgabe 10:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
Eine affine Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn linear unabhängige Punkte in linear unabhängig Punkte abgebildet werden.

b)
Besitzt eine affine Abbildung zwei Fixpunkte $ P$ und $ Q$, so ist die Gerade durch $ P$ und $ Q$ eine Fixgerade.

c)
Besitzt eine affine Abbildung zwei Fixpunkte $ P$ und $ Q$, so ist die Gerade durch $ P$ und $ Q$ eine Fixpunktgerade.

d)
Besitzt eine affine Abbildung zwei Fixpunkte $ P$ und $ Q$, so ist die Gerade durch $ P$ und $ Q$ die einzige Fixgerade dieser Abbildung.

e)
Besitzt eine affine Abbildung $ \alpha$ einen Fixpunkt, so hat die induzierte lineare Abbildung $ \phi_{\alpha}$ den Eigenwert 1.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)

Aufgabe 11:
Gegeben sei die affine Abbildung $ \alpha: \mathbb{R}^3
\longrightarrow \mathbb{R}^3$ mit

$\displaystyle (0, 0, 0)^{\mathrm{t}} \mapsto (0, 0, 1)^{\mathrm{t}} \quad , \qu...
...mathrm{t}} \quad ,
\quad (1, 1, 1)^{\mathrm{t}} \mapsto (5, 0, 0)^{\mathrm{t}}.$

Gegeben seien weiterhin die Matrizen $ A=\left(\begin {array}{rrr} 0&-1&2\\
-1&0&2\\
2&2&-3
\end {array}\right) $ und $ B=\left(\begin {array}{rrr} 2&1&2\\
-1&0&1\\
0&-1&0
\end {array}\right) $, sowie die Vektoren $ c = (0, 0, 1)^{\mathrm{t}}$ und $ d
= (-1, 1, 0)^{\mathrm{t}}$.

a)
Welche Gestalt hat die Koordinatendarstellung von $ \alpha$?

$ Ax+c$ $ Ax+d$ $ Bx+c$ $ Bx+d$

b)
Welche der folgenden Punkte ist ein Fixpunkt von $ \alpha$?

$ (0,0,0)^{\mathrm{t}}$ $ (5,0,0)^{\mathrm{t}}$ $ (0,0,1)^{\mathrm{t}}$ $ (2, -2, 0)^{\mathrm{t}}$ $ (-1, 1, 0)^{\mathrm{t}}$


   

(Prüfungsvorbereitungskurs LAAG) automatisch erstellt am 12.2.2008