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Mathematik-Online-Test:

Lineare Algebra, Test 9


Aufgabe 1:
Es sei $ K$ ein Körper mit char$ (K)\neq 2 $ und $ Q$ sei eine Quadrik in $ K^n$, die als Lösungsmenge einer Matrixgleichung

$\displaystyle Q: x^{\mathrm{t}}Ax + 2b^{\mathrm{t}}x+c=0
$

gegeben ist. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
$ A$ muss symmetrisch gewählt werden.
b)
$ Q$ ist eine Mittelpunktsquadrik $ \Longleftrightarrow$ $ c=1$.
c)
Ist Rang$ (A)=n$, dann ist $ Q$ eine kegelige Quadrik.
d)
Ist $ A$ symmetrisch, dann kann $ A$ orthogonal diagonalisiert werden.
e)
Ist $ A$ symmetrisch, dann gibt es eine invertierbare Matrix $ T$, so dass $ T^\mathrm{t}AT$ eine Diagonalmatrix ist.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie den Typ der folgenden reellen Quadriken.

a)
$ Q: \ 5x_1^2-4x_1x_2+8x_2^2-10x_1+4=0.$
b)
$ Q: \ x_1^2+x_1\,x_2+3\,x_2^{}\,x_1^{}+4\,x_2^2+\frac{26}{5}\,x_1^{}+\frac{12}{5}\,x_2^{}-7=0$
c)
$ Q: -2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3+1=0$

Antwort:

  kegelige Quadrik Mittelpunkts-Quadrik parabolische Quadrik
a)
b)
c)

Aufgabe 3:
Welche der folgenden Quadriken im $ \mathbb{R}^3$ enthalten Geraden?
a) Kegel b) Ellipsoid c) Elliptisches Paraboloid  
d) Elliptischer Zylinder e) Hyperbolischer Zylinder f) Einschaliges Hyperboloid  
g) Zweischaliges Hyperboloid      

Antwort:

  enthält Gerade(n) enthält keine Geraden
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

Aufgabe 4:
Welche Typen von Quadriken im $ \mathbb{R}^3$ werden durch die folgenden Gleichungen beschrieben?

a)
$ Q: x_1 = 0$
b)
$ Q: {x_1}^2 = 0$
c)
$ Q: {x_1}^2 = 1$
d)
$ Q: {x_1}^2 + {x_2}^2 = 0$
e)
$ Q: {x_1}^2 + {x_2}^2 = 1$
f)
$ Q: {x_1}^2 - {x_2}^2 = 1$
g)
$ Q: {x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 = 1$
h)
$ Q: {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_3}^2 = 1$
i)
$ Q: {x_1}^2 - {x_2}^2 - {x_3}^2 = 1$

Antwort:

  Gerade Ebene(n) Zylinder Ellipsoid Hyperboloid
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

Aufgabe 5:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Es gibt eine Affinität $ f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$, die ...

a)
... den Schnittwinkel zweier sich schneidender Ebenen verändert.

b)
... zwei sich schneidende Ebenen auf zueinander parallele Ebenen abbildet.

c)
... eine Ebene auf einen Kegel abbildet.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)

Aufgabe 6:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Schneidet man ein elliptisches Paraboloid mit einer Ebene, so kann man ...

a)
... eine Gerade,

b)
... eine Parabel,

c)
... einen Punkt
erhalten.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)

   

(Prüfungsvorbereitungskurs LAAG) automatisch erstellt am 12.2.2008