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Mathematik-Online-Test:

Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher, Fourier-Reihen, Vektoranalysis


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V2   A2 V-   A3 V-   A4 V-   A5 V- 
Variantenauswahl: - - - -

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Bestimmen Sie für die Funktion

$\displaystyle \displaystyle{f(x,y)=x+x^2-xy^2+1} $

den Gradienten, die Hessematrix und die kritischen Punkte sowie deren Typ.


Antwort:

$ \operatorname{grad} f =\Big($ $ +$ $ x$ $ +$ $ y^2$,    $ xy$$ \Big)$


$ \operatorname{H} f =$ $ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$
$ y$
$ y$ $ x$
$ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$



$ \Big($, $ \Big)$:    lokales Maximum         lokales Minimum         Sattelpunkt

$ \Big($, $ \Big)$:    lokales Maximum         lokales Minimum         Sattelpunkt

$ \Big($, $ \Big)$:    lokales Maximum         lokales Minimum         Sattelpunkt

(aufsteigend sortiert nach $ y$-Koordinate)
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Extrema der Funktion

$\displaystyle f(x,y)=xy+x$

sowie deren Typ unter der Nebenbedingung

$\displaystyle x^2+y^2=1.$

Antwort:
Maximum in $ \Big($ , $ \Big)$     mit Wert
Minimum in $ \Big($ , $ \Big)$     mit Wert
(auf drei Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 3:
Im $ \mathbb{R}^3$ sei der Körper $ M$ , der durch den Graph $ S$ der Funktion $ f(x,y)= x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1$ und der Ebene $ E$ mit der Gleichung $ z=0$ eingeschlossen wird gegeben. Die Kurve $ K$ sei gegeben durch $ S \cap E$ .

Das Vektorfeld $ g:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ sei definiert durch

$\displaystyle g:\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)
\mapsto
\left(\begin{array}{c}x\\ 2y-x\\ 2z+y\end{array}\right).$

a)
Wie lautet der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor von $ \partial M$ in $ (1,0,0)$ ?

$ \Big($ , , $ \Big) ^{\operatorname t}$

b)
Wie lautet der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor von $ \partial M$ in $ (1,0,-2)$ ?

1 / $ \cdot \Big($ , , $ \Big) ^{\operatorname t}$

c)
rot $ g\ =\ \Big($ , , $ \Big) ^{\operatorname t}$

d)
div $ g\ =\ $

e)
Berechnen Sie das Volumen $ V$ des Körpers $ M$ . $ V\ =$ $ \cdot\pi$

f)
$ \iint\limits_{\partial M} g\cdot n~\mathrm{d}O\ =$ $ \cdot\pi$

(Hierbei sei $ n$ der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor.)

g)

$ \int_K g \mathrm{d}r\ =\ \pm$ $ \cdot\pi$


Aufgabe 4:
Gegeben sei die $ 2\pi$ -periodische Funktion $ f$ durch

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rll}
0 & \mathrm{f''ur} & x\in [-\pi,0)\\
\frac{x}{\pi} & \mathrm{f''ur} & x\in [0,\pi)
\end{array}\right.$

Bestimmen Sie eine Fourierreihe $ F(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum\limits_{k=1}^\infty(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ zu $ f$ .

Kreuzen Sie in der Tabelle die Werte von $ a_k$ und $ b_k$ an.

  keine Aussage 0 $ 1$ $ \displaystyle\frac{1}{\pi}$ $ \displaystyle\frac{1}{2}$ $ \displaystyle\frac{\pi}{2}$ $ \displaystyle\frac{1}{k\pi}$ $ \displaystyle-\frac{1}{k\pi}$ $ -\displaystyle\frac{2}{k^2\pi^2}$
$ a_0$                                                                                 
$ a_k$ für gerade $ k\ne0$
$ a_k$ für ungerade $ k$
$ b_k$ für gerade $ k$
$ b_k$ für ungerade $ k$

Berechnen Sie die ersten Glieder der Reihe $ \pi\cdot F(\frac{\pi}{2})$ .

$ \pi\ \Big/\ $     +        +    0    -     $ 1\ \Big/\ $     +    0    +    $ 1\ \Big/\ $     +    0    -    $ 1\ \Big/\ $     +    $ \dots$

Gegen welchen Wert konvergiert die Reihe

$ \displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{2n+1}\ =\ \pi\ \Big/\
$


Aufgabe 5:
Sei $ D\subseteq\mathbb{R}^2$ . Sei $ g:D\longrightarrow\mathbb{R}^2$ ein Vektorfeld mit $ g(x,y)=\left(\begin{array}{c}g_1(x,y)\\ g_2(x,y)\end{array}\right)$ .

Sei $ E\subseteq\mathbb{R}^3$ . Sei $ h:E\longrightarrow\mathbb{R}^3$ ein Vektorfeld.

Sei $ K$ eine glatte Kurve mit regulärer Parameterdarstellung $ C:[0,\pi]\longrightarrow E$ .

Bestimmen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.

a)
$ g_1(x,y)+g_2(x,y)y'$ ist exakte DGL $ \Longrightarrow$ $ g$ besitzt eine Potentialfunktion.

keine Angabe ,     wahr ,     falsch

b)
$ h$ besitzt eine Potentialfunktion $ \Longrightarrow$ das Kurvenintegral $ \displaystyle\int\limits_0^\pi h(C(t))\cdot\dot{C}(t)~dt=0$ .

keine Angabe ,     wahr ,     falsch

c)
$ \operatorname{div}(h)=0$ $ \Longleftrightarrow$ $ h$ besitzt eine Potentialfunktion.

keine Angabe ,     wahr ,     falsch

d)
$ \operatorname{rot}(h)=(0,0,0)^{\operatorname t}$ $ \Longleftrightarrow$ $ h$ besitzt eine Potentialfunktion.

keine Angabe ,     wahr ,     falsch


   

(Konzipiert von W. Kimmerle unter Mitwirkung von M. Knödler) automatisch erstellt am 29.4.2008