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Mathematik-Online-Test:

Differentialgleichungen, Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher, Fourier-Reihen, Vektoranalysis


Aufgabe 1:
Gegeben sei die $ 2\pi$ -periodische Funktion $ f$ durch

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rll}
-1 & \mathrm{f''ur} & x\in (-\pi,0...
...} & x\in (0,\pi)\\
2 & \mathrm{f''ur} & x\in \{-\pi,0,\pi\}
\end{array}\right.$

Bestimmen Sie eine Fourierreihe $ F(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum\limits_{k=1}^\infty(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ zu $ f$ .

Kreuzen Sie in der Tabelle die Werte von $ a_k$ und $ b_k$ sowie den Wert der Fourierreihe $ F$ an der Stelle 0 an.

  keine Aussage $ 1$ $ -1$ $ 2$ 0 $ \pi$ $ \displaystyle\frac{4}{k\pi}$ $ \displaystyle-\frac{4}{k\pi}$
$ a_k$ für gerade $ k$
$ a_k$ für ungerade $ k$
$ b_k$ für gerade $ k$
$ b_k$ für ungerade $ k$
$ F(0)$


Aufgabe 2:

Im $ \mathbb{R}^3$ sei der Körper $ M$ , der durch den Graph $ S$ der Funktion $ f(x,y) =5 -x^2-y^2+2y$ und der Ebene $ E$ mit der Gleichung $ z=2$ eingeschlossen wird, gegeben. Die Kurve $ K$ sei gegeben durch $ S \cap E$ .

Das Vektorfeld $ g: \mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3$ sei definiert durch

$\displaystyle g: \quad \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\mapsto
\begin{pmatrix}x+y \\ x+y+z \\ y \end{pmatrix}.$

a)
Wie lautet der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor von $ \partial M$ in $ (0,0,5)$ ?
$ \Big(\ $ , , $ \ \Big)^{\operatorname t}\
\Big/\ $ $ ^\frac{1}{2}$

b)
Wie lautet der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor von $ \partial M$ in $ (1,1,2)$ ?
$ \Big(\ $ , , $ \ \Big)^{\operatorname t}$

c)
$ \mathrm{rot} g =\Big(\ $ , , $ \ \Big)^{\operatorname t}$ .

d)
$ \mathrm{div} g =$ .

e)
Eine Parametrisierung $ v(t)$ von $ K$ lautet
$ \Big(\ $ $ \cos\varphi$ + , $ \sin\varphi$ + , $ \ \Big)^{\operatorname t}\ ,\ \varphi\in[0,2\pi)$

f)
Verwenden Sie der Geometrie des Körpers angepasste Zylinderkoordinaten und ergänzen Sie das Dreifach-Integral so, dass es das Volumen von $ M$ beschreibt:

$ \displaystyle\int\limits_a^b
\int\limits_c^d
\int\limits_e^f\quad$ + $ r$ + $ r^2$ $ \mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z$

$ b\ =\ $      $ d\ =\ \big($ $ \ -\ z\big)^\frac{1}{2}$     $ f\ =\
$ $ \ \pi$

$ a\ =\ $     $ c\ =\ $     $ e\ =\ $

g)
Das Volumen von $ M$ ist $ \ \pi$ .

h)
Sei $ S_P$ der geometrische Schwerpunkt von $ M$ .

    $ y_{S_P}=$

i)
$ \iint\limits_{\partial M} g \cdot n\, \mathrm{d}O =$ $ \ \pi$ .

(Hierbei sei $ n$ der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor.)

j)
$ \int_K g \mathrm{d}r =$ $ \ \pi$ .


Aufgabe 3:
Gegeben sei die Kurve $ C$ mit der Darstellung $ C(t)=(\cos t, \sin t, \frac{t}{2\pi})$ mit $ t\in[0,2\pi]$ , sowie das Vektorfeld $ V$ mit $ V(x,y,z)=(3x^2-y^2,-\alpha xy,-1)$ mit dem reellen Parameter $ \alpha$ .


Berechnen Sie $ \mathrm{rot} V$ :

$ \mathrm{rot} V\ =\ \displaystyle\Big($ , , $ \big($ - $ \alpha\big)y\displaystyle\Big)^{\operatorname t}$

Berechnen Sie $ C'(t)$ :

$ C'(t)\ =\ \Big($ $ \sin t$ , $ \cos t$ , $ \big($ $ \pi\big)^{-1}\Big)^{\operatorname t}$

Berechnen Sie das Integral $ I = \int\limits_C V \mathrm{d}r$ .

$ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}$ $ \cos^2t\sin t$ + $ \sin^3t$ + $ \alpha\cos^2t\sin t$ + $ \Big($ $ \pi\Big)^{-1}
~\mathrm{d}t$

$ =$

Es gibt einen Wert des Parameters $ \alpha$ , für welchen das Vektorfeld $ V$ ein Potential besitzt. Bestimmen Sie dieses $ \alpha$ :

$ \alpha\ =\ $

Bestimmen Sie das zu diesem $ \alpha$ gehörige Potential $ u$ :

$ u\ =\ $ $ x^3$ + $ zx$ + $ y^2x$ + $ y^2$ + $ z$

und drücken Sie für diesen Fall den Wert des Integrals $ I$ mit Hilfe des Potentials aus:

$ I\ =\ $ $ u\Big($ , , $ \Big)$ + $ u\Big($ , , $ \Big)$


Aufgabe 4:
Die Differentialgleichung

$\displaystyle y ( 1 + x y ) - x y~'= 0 \qquad (1)$

besitzt einen nur von $ y$ abhängigen integrierenden Faktor $ \mu$ .

$ \mu$ genügt der Differentialgleichung:

$ \displaystyle\frac{\mu'}{\mu}\ =\ $ $ \Big/ y$ + $ y^2$

Bestimmen Sie mit Hilfe von $ \mu(y)=1/y^2$ die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $ (1)$ :

$ y\ =\ $ $ x^2$ + $ x\ \Big/ \Big($ $ c$ - $ x^2\Big)$

Wie lautet die Gleichung der Lösungskurve durch den Punkt $ P (2,- 2)$ ?

$ y\ =\ $ $ x^2$ + $ x\ \Big/ \Big($ - $ x^2\Big)$

Es gibt auch eine Lösungskurve, die durch den Punkt $ Q(1,0)$ geht. Wie lautet ihre Gleichung?

$ y\ =\ $ $ x^2$ + $ x\ \Big/ \Big($ - $ x^2\Big)$


Aufgabe 5:
Bestimmen Sie für die Funktion

$\displaystyle f(x,y)=x^4+y^4+2x^2y^2-26x^2-10y^2\,.
$

die ersten und zweiten partiellen Ableitungen, die kritischen Punkte sowie deren Typ.

Antwort:


$ f_x=$ $ x^3$ $ +$ $ xy^2$ $ +$ $ x$         $ f_y=$ $ y^3$ $ +$ $ x^2y$ $ +$ $ y$
$ f_{xx}=$ $ x^2$ $ +$ $ y^2$ $ +$          $ f_{xy}=$ $ xy$
$ f_{yx}=$ $ xy$          $ f_{yy}=$ $ x^2$ $ +$ $ y^2$ $ +$
$ \Big($, $ \Big)$:    lokales Maximum         lokales Minimum         Sattelpunkt

$ \Big($, $ \pm$$ \Big)$:    lokales Maximum         lokales Minimum         Sattelpunkt

$ \Big(\,\pm$, $ \Big)$:    lokales Maximum         lokales Minimum         Sattelpunkt

(aufsteigend sortiert nach Abstand zum Ursprung; auf zwei Dezimalstellen gerundet)


   

(Konzipiert von W. Kimmerle unter Mitwirkung von M. Knödler) automatisch erstellt am 5.10.2004