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Mathematik-Online-Test:

Analysis einer Veränderlichen - Test 11

Aufgabe 1:
Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
Aus $ \vert f\vert<\vert g\vert$ folgt $ \int_a^b f< \int_a^b g$ .
b)
Unstetige Funktionen sind nicht Riemann-integrierbar.
c)
Ist $ V$ das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Kurve $ f(x)>0$ mit $ x\in[a,b]$ um die $ x$ -Achse entsteht, so gibt es ein $ c\in[a,b]$ mit $ V=\pi(b-a)(f(c))^2$ .
d)
Ist die Riemann-integrierbare Funktion $ f$ auf $ [a,b]$ konvex, dann gilt für den mit der Trapezregel angenäherten Integralwert $ s_h f$ stets $ s_h f\geq \int_a^b f(x)\, dx$ .
e)
Für die Gewichte $ c_k$ der Gaussformel mit $ n$ Knoten für das Intervall $ [a,b]$ gilt $ \sum_{k=1}^n c_k=b-a$ .

Antwort:

a)
wahr     falsch         b) wahr     falsch         c) wahr     falsch

d)
wahr     falsch         e) wahr     falsch

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Werte der folgenden Integrale.
a) $ \displaystyle{\int_0^{\pi/2}(x^2+1)\cos(2x)\, dx}$             b) $ \displaystyle{\int_0^{\pi^{2/3}} 3\sqrt{x}\,\sin^2\left(x^{3/2}-\pi\right)\, dx}$             c) $ \displaystyle{\int_0^2\frac{x+4}{(x+1)^2}\, dx}$
d) $ \displaystyle{\int_0^{\sqrt{3}}\frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}}\, dx}$             e) $ \displaystyle{\int_{-\pi}^\pi \frac{x-\sin^{17}(x)}{\mathrm{e}^{x^2}\big(\cos^{34}(x)+2\big)}\, dx}$              

Antwort:

a) $ \pi$                 b) $ \pi$                 c) $ +\,\ln $
d) $ \sqrt{6}$ $ +$                 e)                  

Aufgabe 3:
Durch Rotation des unten gezeigten Querschnitts um die $ x$-Achse entsteht eine (nicht sonderlich standfeste) Vase.



\includegraphics[width=\linewidth]{vase.eps}

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x+1}$  
$\displaystyle g(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x-2}$  

Wie schwer ist die Vase, wenn sie aus Glas der Dichte $ 2.5$g/cm$ ^3$ gefertigt wird?


Antwort:

$ m = $ g

(Geben Sie das Gewicht auf ganze Gramm gerundet an.)

Aufgabe 4:
a)
Bestimmen Sie die Länge $ L$ der durch die Funktion $ f(x)=\frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}$ für $ x\in [0,3]$ definierten Kurve.

Antwort: $ L={}$

b)
Bestimmen Sie die Länge $ L$ der Kurve mit der Parametrisierung

$\displaystyle p(t)=\mathrm{e}^{-t}\left(\begin{array}{c} \cos t \\ \sin t \end{array}\right)$   für $\displaystyle t\in[0,\infty) \; .$

Antwort: $ L^2={}$

Aufgabe 5:
Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren, und berechnen Sie gegebenenfalls ihre Werte.
a) $ \displaystyle{\int\limits_{2}^\infty\frac{x^2}{\sqrt{x^3-1}}}\,dx$                                 b) $ \displaystyle{\int\limits_{1}^\infty\frac{6}{\sqrt{x}(x+1)\pi}\;dx}$
c) $ \displaystyle{\int\limits_{-\infty}^\infty \cos^2x \sin x\,dx}$                                 d) $ \displaystyle{\int\limits_{-1}^9\frac{dx}{\sqrt{\vert x\vert}}}$

Antwort:

a)
existiert nicht        existiert        mit Wert
b)
existiert nicht        existiert        mit Wert
c)
existiert nicht        existiert        mit Wert
d)
existiert nicht        existiert        mit Wert

   
(Konzipiert von Joachim Wipper) automatisch erstellt am 26.6.2008