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Mathematik-Online-Test:

Analysis mehrerer Veränderlicher, Test 1

Aufgabe 1:
Geben Sie eine Parameterdarstellung der Tangente an die durch

$\displaystyle c(t)= e^t \begin{pmatrix}\cos t\\ \sin t \end{pmatrix}$

parametrisierte Kurve im Punkt $ c(0)$ an.

Antwort:

$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$  
$ 1$
  $ \left. \rule{0pt}{4ex}\right) + \lambda \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$  
$ 1$
  $ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$

Aufgabe 2:
Berechnen Sie für

$\displaystyle f(x)=\begin{pmatrix}x_1+2x_2\\ x_1x_2\\ x_1/x_2\\ 3x_1-x_2\end{pm... ...d g(y)=\begin{pmatrix}y_1y_2^2\\ [1ex]y_2^3y_3^2\\ [1ex]y_3^2y_4\end{pmatrix} $

die Jacobi-Matrix $ g \circ f$ an der Stelle $ x=(1,1).$

Antwort:

$ \operatorname{J}(g \circ f)(1,1)=\left( \rule{0pt}{7ex}\right.$
   
   
   
$ \left. \rule{0pt}{7ex}\right)$

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Taylor-Darstellung des Polynoms

$\displaystyle p(x,y)=(x-2y)^2 $

zum Entwicklungspunkt $ (2,-3)$.

Antwort:

$ +$ $ \xi+$ $ \eta+$ $ \xi^2+$ $ \xi \eta +$ $ \eta^2$     mit $ \xi=x-2,\, \eta=y+3$
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die kritischen Punkte der Funktion

$\displaystyle f(x,y)=(y-x^2)(y-1) $

sowie deren Typ.

Antwort:

$ \Big($, $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum          Sattelpunkt

$ \Big($, $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum          Sattelpunkt

$ \Big($, $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum          Sattelpunkt

(aufsteigend sortiert nach $ x$-Koordinate)
Aufgabe 5:
Bestimmen Sie die affine Abbildung, welche des Standarddreieck

$\displaystyle D_*:\ x+y \leq 1,\quad x,y \geq 0$

auf das Dreieck $ D$ mit den Eckpunkten

$\displaystyle (2,1),(6,5),(3,4)$

abbildet, und berechnen Sie

$\displaystyle \iint\limits_{D} x^2+y^2\,dx\,dy\,.$

Antwort:

$ \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} \mapsto \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
   $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right) \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}+ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
 
 
  $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$

$ \displaystyle\iint\limits_{D} x^2+y^2\,dx\,dy =$

Aufgabe 6:
Integrieren Sie

$\displaystyle f(x,y,z)=z\sqrt{x^2+y^2+z^2} $

über den Zylinder

$\displaystyle Z: x^2+y^2 \leq 4, \quad 0 \leq z \leq 2\,. $

Antwort:



(auf drei Dezimalstellen gerundet)
   
(Autor: Marco Boßle) automatisch erstellt am 5.9.2008