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Mathematik-Online-Test:

Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher, mehrdimensionale Integration, Test 2


Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Tangentialebene des Ellipsoids

$\displaystyle Q: x^2 + y^2 + 2z^2 = 4$

im Punkt $ (1,-2,1).$

Antwort:


$ x +$

$ y +$

$ z = $



(Brüche vollständig gekürzt, Nenner positiv)


Aufgabe 2:
Entwickeln Sie

$\displaystyle f(x,y)=\frac{x-y}{1+2x+3y}
$

um $ (0,0)$ bis zu Termen der Ordnung $ 2$ einschließlich.

Antwort:

$ +$ $ x+$ $ y+$ $ x^2+$ $ xy +$ $ y^2$
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Extrema von

$\displaystyle f(x,y) = y-x^2$

unter der Nebenbedingung

$\displaystyle g(x,y) = y^2-x^2+x^4 = 0\,.$

Antwort:

$ \Big($ , $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum

$ \Big($ , $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum

$ \Big($ , $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum

$ \Big($ , $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum

(aufsteigend sortiert nach $ x$-Koordinate, auf drei Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 4:
Integrieren Sie

$\displaystyle f(x,y)=2x-3y$

über das von den Vektoren $ (2,1)^\mathrm{t},\, (2,4)^\mathrm{t}$ aufgespannte Parallelogramm mit linker unterer Ecke $ (0,0).$

Antwort:



(auf drei Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 5:
Integrieren Sie

$\displaystyle f(x,y,z)=xyz$

über das Dreieck mit den Eckpunkten $ (0,0,0),\,(2,1,0),\,(0,1,2)$.

Antwort:

(auf drei Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 6:
Integrieren Sie für $ f(x,y,z)=x^3z^2$

% latex2html id marker 543
$\displaystyle \setcounter{monormalcnt}{0}\refstepco...
...}\quad f_x\qquad
\refstepcounter{monormalcnt}{\bf\alph{monormalcnt})}\quad f_z
$

über den Zylinder

$\displaystyle K:\ x^2+y^2\le 4,\quad 0\le z\le 3.$

Antwort:

a) $ \pi$         b)$ \pi$


   

(Autor: Marco Boßle) automatisch erstellt am 10.3.2017