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Mathematik-Online-Test:

Differentialgleichungen, Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis


Aufgabe 1:
Gegeben sei die Kurve $ C$ mit der Parameterdarstellung $ C(t)=(\cos t, \sin t, \cos t)$ mit $ t\in[0,2\pi]$ , sowie das Vektorfeld $ V_\alpha$ mit $ V_\alpha(x,y,z)=(3xy,3y^2z+\alpha x^2,y^3+z)$ mit dem reellen Parameter $ \alpha$ .


Berechnen Sie $ \mathrm{rot} V_5$ an der Stelle $ (1,1,3)$ :

$ \mathrm{rot} V_5(1,1,3)\ =\ \displaystyle\Big($ , , $ \Big)^{\operatorname t}$

Berechnen Sie $ C'(\frac{\pi}{2})$ :

$ C'(\frac{\pi}{2})\ =\ \Big($ , , $ \Big)^{\operatorname t}$

Ist $ C'(k\frac{\pi}{2})$ für $ k\in\mathbb{Z}$ unabhängig von $ k$ ?     weiß nicht     ja     nein

Ist $ C(t)$ eine reguläre Parametrisierung?     weiß nicht     ja     nein

Berechnen Sie das Integral $ I = \int\limits_C V_\alpha \mathrm{d}r$ .

$ \displaystyle I=\int\limits_0^{2\pi}$ $ \cos t\sin^2 t$ + $ \cos^2t\sin^2t$ + $ \alpha\cos^3t$ + $ \sin t\cos t$ + $ \sin^4t~\mathrm{d}t$

$ =$

Folgende Fragen können bei der Berechnung von $ I$ nützlich sein.

Hängt $ I$ von $ \alpha$ ab?     weiß nicht     ja     nein

Für welchen Wert des Parameters $ \alpha$ besitzt das Vektorfeld $ V_{\alpha}$ eine Potentialfunktion?     $ \alpha$ = $ \Big/$

Ist $ C$ eine geschlossene Kurve?     weiß nicht     ja     nein

Bestimmen Sie das zu diesem $ \alpha$ gehörige Potential $ u$ , welches an der Stelle $ (0,0,0)$ den Wert 0 besitzt.

Welche Werte hat das Potential $ u$ an den Stellen $ (1,1,1)$ und $ (1,-1,1)$ ?

$ u(1,1,1)\ =\ $

$ u(1,-1,1)\ =\ $


Aufgabe 2:
Gegeben sei eine partielle Differentialgleichung

$\displaystyle u_{xx}+u_{yy}-2u_y+3u=0.$

Bestimmen sie alle Lösungen der PDG der Form $ u(x,y)=v(x)\cdot w(y)$ mit den Nebenbedingungen

$\displaystyle u(0,y)=u(\pi,y)=u(x,0)=u(x,\pi)=0.$

Sei $ K\in\mathbb{R}$ eine Konstante.

Welche der folgenden Gleichungen ist erfüllt?

keine Angabe
$ \displaystyle\frac{v}{v''}=K=\frac{w''}{w}-2\frac{w'}{w}+3$
$ \displaystyle\frac{v''}{v}=K=-\frac{w''}{w}+2\frac{w'}{w}-3$
$ \displaystyle\frac{v}{v''}=K=2(vw)'' -2vw'+3vw-3$
$ \displaystyle u_{xy}=K\frac{v}{v''}\frac{w}{w''}=u_{yx}$

Mit welchem Ansatz löst man die linke Seite dieser Gleichung für $ K=0$ ,$ K>0$ und $ K<0$ ? $ (C_1,C_2\in\mathbb{R})$

Ansatzt $ v(x)=$ k. A. $ \displaystyle C_1\sin\sqrt{K}x+C_2\cos\sqrt{K}x$ $ \displaystyle C_1e^{\sqrt{K}x}+C_2e^{-\sqrt{K}x}$ $ \displaystyle C_1\cos\sqrt{-K}x+C_2\sin\sqrt{-K}x$ konstant $ \displaystyle C_1x+C_2$ $ \displaystyle C_1x^2+C_2e^{\sqrt{-K}}x$
$ K=0$
$ K>0$
$ K<0$

Welche Lösungen für $ v$ erfüllen die Nebenbedingungen?

keine Angabe
$ \displaystyle v(x)=C(x^2-\pi x), C\in\mathbb{R}$
$ \displaystyle v(x)=C\cos 2nx - C, C\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$
$ \displaystyle v(x)=C\sin nx, C\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$
$ \displaystyle v(x)=C\left(\left\vert x-\frac{\pi}{2}\right\vert-\frac{\pi}{2}\right), C\in\mathbb{R}$
$ \displaystyle v(x)=Cx-C, C\in\mathbb{R}$

Welche Werte kommen für $ K$ in Frage?

keine Angabe $ K\in\{-1,0,1\}$
$ K\in\mathbb{N}$ $ K\in\mathbb{Z}$
$ K\in\mathbb{R}$ $ K=n^2,\ n\in\mathbb{N}$
$ K=-n^2,\ n\in\mathbb{N}$ $ K=2n,\ n\in\mathbb{N}$

Lösen Sie nun für diese $ K$ die DGL für $ w$ .

Benützen Sie den Ansatz: $ w(y)=De^{\eta y}$

Welche Form besitzt $ \eta$ ?

keine Angabe $ \displaystyle \eta=1\pm\sqrt{-K-2}$
$ \displaystyle \eta=1\pm\sqrt{K-2}$ $ \displaystyle \eta=\frac{\pi}{2}K$
$ \displaystyle \eta=1\pm\sqrt{K+2}$ $ \displaystyle \eta=\frac{\pi}{2}K\mathrm{i}$

Welche Lösungen für $ w$ erhält man für $ \eta\in\mathbb{R}$ ? Welche dieser Lösungen erfüllen die Nebenbedingungen?

keine Angabe $ \displaystyle w(y)=D\sin n\pi y,\ n\in\mathbb{N}$
$ \displaystyle w(y)=De^y\sin\sqrt{n^2-2}y,\ D\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}$ $ \displaystyle w(y)=0$
$ \displaystyle w(y)=De^y\sin\sqrt{n^2+2}y,\ D\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}$ $ \displaystyle w(y)=D\sin n\pi y,\ n\in\mathbb{Z}$

Welche Lösungen für $ w$ erhält man für $ \eta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ ? Welche dieser Lösungen erfüllen die Nebenbedingungen?

keine Angabe $ \displaystyle w(y)=Be^y\sin y,\ B\in\mathbb{R}$
$ \displaystyle w(y)=0$ $ \displaystyle w(y)=Be^y\sin\sqrt{-n^2-2}y,\ B\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}$
$ \displaystyle w(y)=B\sin n\pi y,\ n\in\mathbb{N},\ B\in\mathbb{R}$ $ \displaystyle w(y)=B\sin n^2\pi y,\ n\in\mathbb{N},\ B\in\mathbb{R}$

Die Gesamte Lösung der PDG mit Nebenbedingungen lautet?

keine Angabe
$ u(x,y)=Ae^y\sin x,\ A\in\mathbb{R}$
$ u(x,y)=Ae^y\sin x \sin y,\ A\in\mathbb{R}$
$ u(x,y)=0$
$ u(x,y)=Ae^y\sin y,\ A\in\mathbb{R}$


Aufgabe 3:
Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle \underbrace{xy\cos x}_{p(x,y)} + \underbrace{x \sin x}_{q(x,y)} y'.$

Bestimmen Sie einen nur von $ x$ abhängigen integrierenden Faktor $ \mu$ .

Welche der folgenden Gleichungen kann zur Berechnung von $ \mu$ verwendet werden?

keine Angabe
$ \displaystyle\frac{p_y+q_x}{q}=\frac{\mu_x}{\mu}$
$ \displaystyle\frac{p_y-q_x}{q}=\frac{\mu_x}{\mu}$
$ \displaystyle\frac{-p_y+q_x}{p}=\frac{\mu_x}{\mu}$
$ \displaystyle\frac{-p_y-q_x}{p}=\frac{\mu_x}{\mu}$

 
$ \mu=\sin\big($ $ x\big)$ + $ x$

Multiplizieren Sie die DGL mit $ \mu$ zu einer exakten DGL.

Berechnen Sie das zugehörige Potential $ f$ .

$ f(x,y)=$ $ x\sin x$ + $ y\sin x$ + $ x\cos x$ + $ y\cos x$ + $ xy\sin x$ + $ xy\cos x$ + $ c$

Bestimmen Sie eine Lösung der DGL welche durch den Punkt $ \left(\frac{\pi}{2},2\right)$ geht.

Welchen $ y$ -Wert nimmt die Lösung für $ x=\frac{\pi}{6}$ an?

$ y=$


Aufgabe 4:
Bestimmen sie für die Funktion

$\displaystyle f: D\rightarrow\mathbb{R}: (x,y,z)\mapsto xe^{xy}+\frac{xy}{z}
$

mit

$\displaystyle D=\left\lbrace (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z\ne0 \right\rbrace
$

die Hesse-Matrix an der Stelle $ (1,-2,1)$ .

Antwort:

$ \operatorname{H}f(1,-2,1)=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
         
    $ e^{-2}$     
         
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$


Aufgabe 5:
Geben Sie in untenstehender Tabelle die Eigenschaften der folgenden Differentialgleichungen an.

a) $ y_{tt}=c^2y_{xx}$ b) $ 2xy +x^2y'=0$
c) $ y''' + 2y'' - 5y' + 3y + 2 = 0$ d) $ f_x + (y+2z)f_y + zf_z = 0$
e) $ y(1+xy)-xy'=0$ f) $ a^2u_{xx}-u_t=0$
g) $ u_{xx} + u_{yy}=0$ h) $ u_{tt}+\cos u = 1$

Tragen Sie den Wert 1 ein falls die Eigenschaft erfüllt ist und 0 falls nicht.

  a) b) c) d) e) f) g) h)
partiell und nicht gewöhnlich
linear
exakt
konstante Koeffizienten
homogen
elliptisch
parabolisch
hyperbolisch

Welche Ordnungen besitzen die Differentialgleichungen?

  a) b) c) d) e) f) g) h)
Ordnung


Aufgabe 6:
Bestimmen Sie zwei linear unabhängige Lösungen der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle u_x+(ay+bz)u_y+(cy+dz)u_z=0$

mit

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rr}3&5\\ 1&-1\end{array}\right).$

Die Differentialgleichung ist bereits reduziert (Rumpf DGL). Geben Sie das charakteristische System an.

$ x'(t)=$ $ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$
$ y'(t)=$ $ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$
$ z'(t)=$ $ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$
Dieses System ist ein autonomes System. Berechnen Sie ein zugehöriges Phasen-DGL-System.

$ \frac{dy}{dx}=$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$  
$ \frac{dz}{dx}=$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$  

Berechnen Sie die Eigenwerte des Phasen-DGL-Systems.

$ \lambda_1\ =\ $ $ \quad<\quad\lambda_2\ =\ $.

Berechnen Sie die Eigenvektoren zu den Eigenwerten.

$ \lambda_1:\quad
v_1=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
1
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$          $ \lambda_2:\quad
v_2=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
1
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$

Lösung des Phasen-DGL-Systems:

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}
y\\ z
\end{array}\right)=
c_1e^{\lambda_1x}v_1+c_2e^{\lambda_2x}v_2.
$

Lösen sie diese Lösung nach $ {c_1\choose c_2}$ auf.

$ \left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ c_1$
$ c_2$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)\ =\
\dfrac{1}{6}
\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ e^{-\lambda_1x}$ $ e^{-\lambda_1x}$
$ e^{-\lambda_2x}$ $ e^{-\lambda_2x}$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)
\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ y$
$ z$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$.

Die beiden linear unabhängigen Lösungen sind:

$ u_1\ =\ \exp\Big($ $ x\Big)y\ -\
$$ \exp\Big($$ x\Big)z$

$ u_2\ =\ \exp\Big($ $ x\Big)y\ +\
$$ \exp\Big($$ x\Big)z$


   

(Konzipiert von W. Kimmerle unter Mitwirkung von M. Knödler) automatisch erstellt am 5.10.2004