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Mathematik-Online-Test:

Analysis einer Veränderlichen, Differentialgleichungen, lineare Gleichungssysteme, Normalformen


Aufgabe 1:
Gegeben sei die Matrix

\begin{displaymath}A=\left(
\begin{array}{rrr}
-11 & 2 & 8 \\
2 & -2 & 10 \\
8 & 10 & -5
\end{array}\right).
\end{displaymath}

Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix $ T$ so, daß $ D={T}^{\operatorname t}AT$ eine Diagonalmatrix ist und geben Sie $ D$ explizit an. Dabei soll die Diagonale von $ T$ nur positive Werte besitzen und die Diagonale von $ D$ aufsteigend sortiert sein.

Bringen Sie die Einträge der Transformationsmatrix auf den gemeinsamen Nenner $ 9$ und geben Sie nur die Zählerwerte ein:

$ T= \displaystyle\frac{1}{9}\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

$ D= \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$


Aufgabe 2:
Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem.

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcrcrcc}
\alpha x_1&-&2x_2& & &=&4\\
-x_1&-&x_2&+&2x_3 &=&\beta \\
x_1&+&x_2&-&x_3 &=&0
\end{array}\end{displaymath}

a)
Für welches $ \alpha_*$ ist die Lösbarkeit des Gleichungssystems von $ \beta$ abhängig?
b)
Für welches $ \beta_*$ besitzt das Gleichungssystem für alle $ \alpha$ eine Lösung?
c)
Bestimmen Sie für die Parameter $ \alpha_*$ und $ \beta_*$ alle Lösungen des Gleichungssystems.
Antwort:

a)
b)
c)  
 
$ x=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
1
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right) t +
\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
-2
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$
mit $ t \in \mathbb{R}$


Aufgabe 3:
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{x^4-9x^2}{x^3-x}\,.$

  1. Definitionsbereich

    Geben Sie alle $ x\in\mathbb{R}$ , für die $ f$ nicht definiert ist aufsteigend sortiert an, und beschreiben Sie sie näher.

    $ x_1=$ keine Angabe keine Polstelle einfache Polstelle doppelte Polstelle
    $ x_2=$ keine Angabe keine Polstelle einfache Polstelle doppelte Polstelle
    $ x_3=$ keine Angabe keine Polstelle einfache Polstelle doppelte Polstelle

  2. Symmetrie

    keine Angabe
    $ f$ ist symmetrisch zur $ x$ -Achse
    $ f$ ist symmetrisch zur $ y$ -Achse
    $ f$ ist symmetrisch zum Ursprung
    $ f$ ist nicht symmetrisch

  3. Nullstellen

    Geben Sie alle rellen Nullstellen von $ f$ aufsteigend sortiert an.

    $ x_4=$ $ \quad$ $ x_5=$

  4. Extrempunkte

    keine Angabe
    $ f$ besitzt keine Extrempunkte
    $ f$ besitzt genau einen Extrempunkt
    $ f$ besitzt genau zwei Extrempunkt
    $ f$ besitzt drei oder mehr Extrempunkte

  5. Wendepunkte

    keine Angabe
    $ f$ besitzt keine Wendepunkte
    $ f$ besitzt genau einen Wendepunkt
    $ f$ besitzt genau zwei Wendepunkt
    $ f$ besitzt drei oder mehr Wendepunkte

  6. Asymptoten

    $ f$ besitzt die Gerade $ y=$ $ x +$ als Asymptote.

  7. Graph

    Geben Sie an, welcher Graph zu $ f$ gehört.

     keine Angabe Graph 1 Graph 2
       \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion1.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion2.eps}
       Graph 3 Graph 4
       \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion3.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion4.eps}


Aufgabe 4:
Geben Sie an, welcher der folgenden Ausdrücke konvergiert und berechnen Sie bei Konvergenz den Grenzwert.


a) $ \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty\frac{(-\pi)^k\pi^k}{(2k)!}}$                 b) $ \displaystyle{\lim_{x\to 0+}(\sin(x))^x}$                 c) $ \displaystyle{\int_2^\infty \frac{1}{x\ln(x)}\,dx}$

d) $ \displaystyle{(a_n)_{n\,\in\,\mathbb{N}}}$         mit     $ a_1= 5$         und      $ a_{n+1}= (a_n+9/a_n)/2$


Antwort:

a)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
b)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
c)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
d)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert


Aufgabe 5:
Gegeben sei die rationale Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{3x^2-7x+5}{x^3-3x^2+4x-2}\,.$

Bestimmen Sie die Nullstellen $ z_1$ bis $ z_3$ des Nenners und geben Sie diese mit aufsteigenden Beträgen und danach mit aufsteigenden Argumenten ( $ \in [0,2\pi)$ ) sortiert ein.

$ z_1=$ $ +$ i $ z_2=$ $ +$ i $ z_3=$ $ +$ i

Geben Sie an, welcher Ansatz für die reelle Partialbruchzerlegung gewählt werden muß.

keine Angabe  
Ansatz 1 $ f(x)=\frac{A}{x-z_1}+\frac{B}{x-z_2}+\frac{C}{x-z_3}$
Ansatz 2 $ f(x)=\frac{A}{x-z_1}+\frac{Bx+C}{x^2-2\operatorname{Re}(z_2)x+\vert z_2\vert^2}$
Ansatz 3 $ f(x)=\frac{A}{x-z_1}+\frac{B}{x-z_2}+\frac{C}{(x-z_3)^2}$

Bestimmen Sie die Konstanten $ A$ bis $ C$ .

$ A=$ $ B=$ $ C=$


Aufgabe 6:
Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle y'''-3y'+2y=0\,.$

Bestimmen Sie die Nullstellen $ z_1$ -$ z_3$ des zugehörigen char. Polynoms und geben Sie diese mit aufsteigenden Beträgen und danach mit aufsteigenden Argumenten ( $ \in [0,2\pi)$ ) sortiert ein.

$ z_1=$ $ +$ i $ z_2=$ $ +$ i $ z_3=$ $ +$ i

Geben Sie an, welcher Ansatz zur reellen Lösung der Differentialgleichung für das Fundamentalsystem gewählt werden muß.

keine Angabe  
Ansatz 1 $ y_1(x)=e^{z_1x}$ ; $ y_2(x)=e^{z_2x}$ ; $ y_3(x)=e^{z_3x}$
Ansatz 2 $ y_1(x)=e^{z_1x}$ ; $ y_2(x)=e^{\operatorname{Re}(z_2)x}
\sin(\operatorname{Im}(z_2)x)$ ; $ y_3(x)=e^{\operatorname{Re}(z_3)x}
\cos(\operatorname{Im}(z_3)x)$ ;
Ansatz 3 $ y_1(x)=e^{z_1x}$ ; $ y_2(x)=xe^{z_2x}$ ; $ y_3(x)=e^{z_3x}$

Bestimmen Sie die Konstanten $ c_1$ -$ c_3$ so, daß

$\displaystyle y=c_1y_1+c_2y_2+c_3y_3 $

das Anfangswertproblem

$\displaystyle y(0)=0;\, y'(0)=0;\, y''(0)=9 $

löst.

$ c_1=$ $ c_2=$ $ c_3=$


   

(Konzipiert von W. Kimmerle unter Mitwirkung von A. App und J. Hörner) automatisch erstellt am 3.5.2010