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Mathematik-Online-Test:

Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen, komplexe Zahlen, Konvergenz und Grenzwerte, Vektorrechnung


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V-   A2 V-   A3 V2   A4 V-   A5 V-   A6 V-   A7 V- 
Variantenauswahl: - - - - - -

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
a)
Berechnen Sie die Polarform $ r\hspace*{0.01cm}{\rm {e}}^{\,{\rm {i}}\hspace*{0.02cm}\varphi}$ von $ {\displaystyle{z=\frac{(1-{\rm {i}})^5}{(1+{\rm {i}})^4}}}$.
b)
Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der einzigen Lösung $ z$ der Gleichung

$\displaystyle z^2+2(1-\mathrm{i})z=2\mathrm{i}\,. $

Antwort:

a)
$ r^2 \ = \ $          $ \varphi \ = \ $ $ \pi$
b)
$ {\rm {Re}}\hspace*{0.05cm}(z) \ = \ $          $ {\rm {Im}}\hspace*{0.05cm}(z) \ = \ $


Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die reellen Parameter $ a, b, c, d, r$ und $ s$ so, dass die abgebildeten Kurven (Gerade, Kreis und Ellipse) durch die Gleichungen

        a) $ \vert z\vert=\vert z-a-{\rm {i}}\hspace*{0.05cm}b\hspace*{0.05cm}\vert$,                  b) $ \vert z\vert=s\,\vert z-{\rm {i}}\hspace*{0.05cm}d\hspace*{0.05cm}\vert$,                  c) $ \vert z\vert+\vert z-c\hspace*{0.05cm}\vert=r$

beschrieben werden.


\includegraphics[width=0.5\linewidth]{k3_bild1} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{k3_bild2}


Antwort:

a)     $ a \ = \ $         b)     $ s \ = \ $         c)      $ r \ = \ $
  $ b \ = \ $           $ d \ = \ $           $ c \ = \ $
(auf 3 Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 3:
Gegeben sind die Vektoren

$\displaystyle \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right),\q...
...t),\quad
\vec{c}=\left(\begin{array}{c} \sigma \\ c_2 \\ c_3 \end{array}\right)$   und$\displaystyle \quad
\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -18 \\ -3 \end{array}\right).
$

a)
Bestimmen Sie $ \sigma\in\{-1,1\}$ und $ c_2,c_3\in\mathbb{R}$ so, dass $ \vec{a}$ , $ \vec{b}$ , $ \vec{c}$ ein orthogonales Rechtssystem bilden.
b)
Berechnen Sie mit Hilfe des Skalarprodukts die Koeffizienten $ \alpha$ , $ \beta$ , $ \gamma$ der Linearkombination $ \vec{x}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}$ .


Antwort:

a)
$ \vec{c}=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$
b)
$ \alpha={}$ ,    $ \beta={}$ ,    $ \gamma={}$

Aufgabe 4:
Gegeben seien die Geraden

$\displaystyle g_1:
\vec{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)+s\...
...\ 2\\ -1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)
$

sowie die Ebene $ E_1: x_1-4x_2+8x_3=3$ .
a)
Berechnen Sie den Abstand von $ E_1$ zum Ursprung.         
b)
Berechnen Sie den Abstand der beiden Geraden.         
c)
Bestimmen Sie die Ebene $ E_2$ , die parallel zu $ g_1$ und $ g_2$ ist und von beiden Geraden den gleichen Abstand hat.

Antwort:

a)
b)
$ d^2=$
c)
$ x_1+$ $ x_2+$ $ x_3=1$
(auf vier Nachkommastellen gerundet)


Aufgabe 5:
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.

a) $ {\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \frac{(2n-17)(2-3n)}{(3n+4)(n-1)}}}$                  b) $ {\displaystyle{\lim_{n\to\infty}
\sqrt[{\mbox{\scriptsize {$n$}}}]{\binom{n}{3}}}}$                  c) $ {\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \left[n\ln\hspace*{0.05cm}
(1+{\textstyle{\frac{1}{2n}}})\right]}}$

Antwort:

a)                 b)                 c)                


Aufgabe 6:
Berechnen Sie die Werte der folgenden Reihen, falls diese konvergieren.
a) $ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)}}$                  b) $ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n!}}}$                  c) $ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{3n}}{3^{2n}}}}$

Antwort:

a)                 b)                 c)                
(Feld freilassen, falls kein Grenzwert existiert)


Aufgabe 7:
Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen an der Stelle $ x=1$.
a) $ f(x) \ =$ $ \displaystyle{\frac{2x-2}{(3+x)^2}}$                 b) $ f(x) \ =$ $ \arctan \sqrt{x}$                 c) $ f(x) \ =$ $ \cosh(\ln (2x))$
                                                  

Antwort:

a)                                          b)                                          c)                         


   

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von C. Apprich und J. Wipper) automatisch erstellt am 15.11.2004