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Mathematik-Online-Test:

Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler - Übungen 1


Aufgabe 1:
Berechnen Sie für die Matrizen

\begin{displaymath}A= \left(
\begin{array}{ccc}
1&3&2\\
2&1&3\\
3&2&1\\
\en...
...(
\begin{array}{ccc}
3&2&-1\\
1&0&2\\
\end{array} \right)
\end{displaymath}

die Produkte $ A\, B,$ $ B\, A,$ $ A\, C,$ $ C\, A,$ $ C\, D$ und $ D\, C$, soweit sie ausführbar sind. Was kann man aus den Ergebnissen der ersten beiden Produkte folgern?

Antwort:

(Bei nicht ausführbaren Produkten Felder leer lassen.)
$ A \, B =$
$ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$
,         $ B \, A = $
$ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$
,
$ A \, C = $
$ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$
,         $ C \, A =$
$ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$
,
$ C \, D = $
$ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$
,         $ D \, C = $
$ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$
 

Aufgabe 2:
Welche der folgenden Matrixausdrücke existieren?

a) $ \left( \left(
\begin{array}{cc}
1&3\\
4&0\\
2&1\\
\end{array} \right...
...ght)
-
\left(
\begin{array}{c}
3\\
1\\
\end{array} \right) 2 \right) $         b) $ ( 4,\, 3,\, 2)\left(
\begin{array}{c}
2\\
1\\
0\\
\end{array} \right)
$         c) $ \left(
\begin{array}{c}
2\\
1\\
0\\
\end{array} \right) ( 4,\, 3,\, 2)
$
d) $ \left( \left(
\begin{array}{cc}
1&3\\
4&0\\
2&1\\
\end{array} \right...
...y} \right) \right)
\left(
\begin{array}{c}
4\\
0\\
\end{array}\right)
$ e) $ ( 4,\, 3,\, 2)
\left(
\begin{array}{cc}
4&0\\
1&0\\
0&2\\
\end{array}\right)
$ f) $ \left(
\begin{array}{cc}
4&0\\
1&0\\
0&2\\
\end{array}\right) ( 4,\, 3,\, 2)
$
g) $ \left( \left(
\begin{array}{cc}
1&3\\
4&0\\
2&1\\
\end{array} \right...
...y} \right) \right)
\left(
\begin{array}{c}
4\\
0\\
\end{array}\right)
$ h) $ \left(
\begin{array}{c}
2\\
1\\
0\\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{cc}
4&0\\
1&0\\
0&2\\
\end{array}\right)
$ i) $ ( 4,\, 3)
\left(
\begin{array}{cc}
4&0\\
1&0\\
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{c}
2\\
1\\
\end{array} \right)
$

Überprüfen Sie bei einem der Produkte die Regel $ (A B)^\mathrm{t}=B^\mathrm{t} A^\mathrm{t}$.

Antwort:

Es existieren die Produkte: a) , b) , c) , d) , e) , f) , g) , h) , i)


Aufgabe 3:
Drei konkurrierende Firmen $ A, B, C$ beherrschen den Markt für ein bestimmtes Produkt. Die Ausgangsmarktlage wird beschrieben durch

$\displaystyle m_0=\frac{1}{12}(7,4,1)^{\operatorname t}
$

Im Laufe eines Jahres ändern sich die Marktanteile wie folgt:

$ A$ behält $ 50 \%$ seines Anteils, verliert $ 20 \%$ an $ B$ und $ 30 \%$ an $ C$,
$ B$ behält $ 30 \%$ seines Anteils, verliert $ 20 \%$ an $ A$ und $ 50 \%$ an $ C$,
$ C$ behält $ 20 \%$ seines Anteils, verliert $ 30 \%$ an $ A$ und $ 50 \%$ an $ B$.

a) Beschreiben Sie dieses Übergangsverhalten durch eine Matrix $ F$.

b) Berechnen Sie die Marktlage $ m_1$ bzw. $ m_2$ am Ende des ersten Jahres bzw. am Ende des zweiten Jahres.

c) Berechnen Sie die Stabile Marktlage $ m_S$ (d.h. eine solche, bei der sich die Marktanteile nicht mehr ändern, falls man das obige Übergangsverhalten vorraussetzt).

Antwort:

a)
$ F=$
$ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$

b)
$ m_1=\dfrac{1}{12}$
$ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$  
,         $ m_2=\dfrac{1}{12}$
$ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$  

c)

$ m_S=\dfrac{1}{3}$
$ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$  
(auf zwei Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 4:
Aus $ 4$ Rohstoffen werden jeweils zwei Zwischenprodukte und daraus $ 4$ Endprodukte hergestellt. Der Materialverbrauch (in Mengeneinheiten) ist in folgenden Tabellen zusammengestellt:

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\par
\begin{array}{r\vert cl}
\mathrm{Ro...
... & 4 & 2 & 5 \\
Z_2 \, & 3 & 2 & 3 & 2
\end{array}\end{array}\end{displaymath}

a) Welche Rohstoffmengen $ m_R$ sind zur Herstellung der Endprodukte $ m_E$ nötig?

b) Wie groß ist der Rohstoffbedarf, wenn von den Endprodukten der Reihe nach $ 100, 100, 50, 50$ Einheiten hergestellt werden sollen?

c)Man berechne die Gesamtkosten der Produktion bei den Rohstoffpreisen (in Euro)

\begin{displaymath}
\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c}
R_1 & R_2 & R_3 & R_4 \\
\hline
20 & 15 & 32 & 35
\end{array}\end{displaymath}

und den (für eine Einheit notwendigen) Fertigungskosten (in Euro)

\begin{displaymath}
\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c}
E_1 & E_2 & E_3 & E_4 \\
\hline
1980 & 2100 & 2850 & 1550
\end{array}\ .
\end{displaymath}

Antwort:

a)
$ m_R= \left( \rule{0pt}{7ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{7ex}\right)m_E$

b)
$ m_R= \left( \rule{0pt}{6.5ex}\right.$  
  $ \left. \rule{0pt}{6.5ex}\right)$
c) Gesamtkosten (in Euro) $ =$


Aufgabe 5:
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem.

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcrcrcr}
3x_1 & - & 2x_2 & - & 6x_3 & = & 10\...
...3 & = & 5\\
2x_1 & - & x_2 & - & 2x_3 & = & 3\\
\end{array}
\end{displaymath}

Antwort:

$ x_1 =$         $ x_2 =$         $ x_3 =$


   

  automatisch erstellt am 11.8.2017