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Mathematik-Online-Test:

Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler - Übungen 4

Aufgabe 1:
In der untenstehenden Abbildung ist eine Mengenstruktur eines chemischen Produktionsprozesses angegeben. $ E$ und $ F$ sind die dabei verwendeten Rohstoffe, $ B$, $ C$ und $ D$ sind Zwischenprodukte, und $ A$ ist das Endprodukt, von dem aber ein Teil selbst in dem Produktionsprozess gebraucht wird. Durch die Pfeilrichtungen ist gekennzeichnet, wie die einzelnen Stoffe bei der Produktion der anderen eingesetzt werden, z.B. $ C$ bei der Produktion von $ B$. Die Zahl 0.5 an dem Pfeil von $ C$ nach $ B$ bedeutet: Für die Produktion einer ME (Mengeneinheit) von $ B$ werden 0.5 ME von $ C$ gebraucht. Entsprechend sind die anderen Zahlen zu interpretieren.

Welche Mengen der Zwischenprodukte $ B$, $ C$ und $ D$ und der Rohstoffe $ E$ und $ F$ sind zur Herstellung von netto 1000 ME des Endproduktes $ A$ erforderlich, und welche Menge (brutto) von $ A$ muss insgesamt produziert werden, damit die 1000 ME (netto) übrigbleiben?


\begin{picture}(0,0)(0,0) \put(21,-5){\circle{10}} \put(20,-6){E} \put(26,-5){... ...7}%b nach a \put(49,-30){0.6}%d nach c \put(115,-41){0.2}%a nach d \end{picture}


Antwort:

$ A=$ME, $ B=$ME, $ C=$ME, $ D=$ME, $ E=$ME, $ F=$ME.

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Ebenen $ E_1$ und $ E_2$ durch die Punkte $ P_1=(1,1,2),\; P_2=(1,0,-2)$ mit Normalen $ \vec{n_1}=(2,2,1)^\mathrm{t}$ und $ \vec{n_2}=(1,0,1)^\mathrm{t}$ sowie eine Parameterdarstellung der Schnittgerade.

Antwort:

Winkel (gekürzt, Nenner positiv): $ /$ $ \pi$

Schnittgerade:
$ \vec{x}=$ $ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 1$
$ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$ $ +\,t$ $ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 2$
$ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$

Aufgabe 3:
#./interaufg174.tex#Gegeben seien die Geraden

$\displaystyle g_1: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)+s\... ...\ 2\\ -1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}0\\ 2\\ -1\end{array}\right) $

sowie die Ebene $ E_1: x_1-4x_2+8x_3=3$.
a)
Berechnen Sie den Abstand von $ E_1$ zum Ursprung.         
b)
Berechnen Sie den Abstand der beiden Geraden.         
c)
Bestimmen Sie die Ebene $ E_2$, die parallel zu $ g_1$ und $ g_2$ ist und von beiden Geraden den gleichen Abstand hat.

Antwort:

a)
b)
$ d^2$ $ =$
c)
$ x_1+$$ x_2+$$ x_3=1$
(auf vier Nachkommastellen gerundet)

Aufgabe 4:
Zeigen Sie, dass die Vektoren

\begin{displaymath}{a}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array... ...ft( \begin{array}{c} 7 \\ - 5 \\ - 2 \\ 3 \end{array}\right)\end{displaymath}

im $ \mathbb{R}^4$ linear abhängig sind, indem Sie $ a_1$ als Linearkombination von $ a_2, a_3$ und $ a_4$ darstellen.

Antwort:

$ a_1=$ $ a_2+$ $ a_3+$ $ a_4$
Aufgabe 5:
Bestimmen Sie den Rang folgender Matrix.

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 &-1 & - 3 &-3 \\ 2 &-5 & - 9 &-12 \\ - 2 & 2 & 6 &6 \\ 5 & -4 & - 14 &-13 \end{array}\right) $

Antwort:

$ \operatorname{Rang}(A)=$
   
  automatisch erstellt am 11.8.2017