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Mathematik-Online-Test:

Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler - Übungen 6

Aufgabe 1:
Es sei $ f(x)= \arctan x.$

a)Entwickeln Sie $ f'(x)$ in eine Potenzreihe um $ x=0$. Für welche $ x$ konvergiert diese Potenzreihe?

b)Bestimmen Sie durch gliedweise Integration eine Potenzreihenentwicklung von $ f(x)$ um $ x=0$.

Antwort:

a)

$ f'(x)=$ $ +$$ x^1+$$ x^2 +$$ x^3+$$ x^4 +$$ x^5+$ $ x^6 +\ldots$

Konvergent für $ \vert x\vert < $

b)$ f(x)=$ $ +$$ x^1+$$ x^2 +$$ x^3+$$ x^4 +$$ x^5+$ $ x^6 +\ldots$

(auf drei Dezimalstellen runden)

Aufgabe 2:
Es sei

$\displaystyle f(x)= \int_0^x e^{-u^2} du.$

a)Entwickeln Sie $ f'(x)$ in eine Potenzreihe um $ x=0.$ Für welche $ x$ konvergiert diese Potenzreihe?

b)Bestimmen Sie durch gliedweise Integration die Potenzreihenentwicklung von $ f(x)$ um $ x=0.$

c)Um für die (nicht elementar darstellbare) Funktion $ f(x)$ Funktionswerte näherungsweise zu berechnen, kann man für kleine Werte von $ \vert x\vert$ die in b) bestimmte Potenzreihenentwicklung vorteilhaft verwenden. Berechnen Sie $ f(0.1)$ auf 4 Dezimalstellen genau, indem Sie nur eine geeignete Zahl von Summanden bei der Potenzreihe berücksichtigen.

Antwort:

a)$ f'(x)=$ $ +$$ x^1+$ $ x^2+\ldots$

b)$ f(x)=$ $ +$$ x^1+$ $ x^2+\ldots$

c)$ f(0.1)=$

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Grenzwerte von

\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \text{\bf a) } \displaystyle \lim_{x\to 0... ...isplaystyle \lim_{x \to 0+} (-\ln x)^{x}\, .& & \\ \end{array}\end{displaymath}

Antwort:

a) $ 1/$,      b) ,      c) ,      d) ,      e) ,      f) ,      g) .
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie den Grenzwert:

$\displaystyle \lim_{y\to \infty} \left( 1+\frac{2x}{y}\right)^y $

wobei die Variable $ x\in\mathbb{R}$ wie eine Konstante behandelt wird.

Antwort:

$ \displaystyle\lim_{y\to\infty}\left(1+\dfrac{2x}{y}\right)^y$= exp($ x$)
   
  automatisch erstellt am 11.8.2017