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Mathematik-Online-Test:

Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler - Übungen 9

Aufgabe 1:
Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil folgender komplexer Zahlen:

% latex2html id marker 723 $\displaystyle \setcounter{monormalcnt}{0}\refstepco... ...nt}{\bf\alph{monormalcnt})}\ z_1=\frac{1 + 2\i}{3 - 4 \i} + \frac{2 - \i}{5\i},$ % latex2html id marker 724 $\displaystyle \qquad \refstepcounter{monormalcnt}{\bf\alph{monormalcnt})}\ z_2=3 \e^{2 \pi \i /9} \cdot 5 \e^{4 \pi \i /9},$    
% latex2html id marker 725 $\displaystyle \refstepcounter{monormalcnt}{\bf\alph{monormalcnt})}\ z_3=\frac{8 \e^{4 \pi \i /15}}{4 \e^{\pi \i /10}},$ % latex2html id marker 726 $\displaystyle \qquad \refstepcounter{monormalcnt}{\... ...os (\pi /12) + \i \sin (\pi /12)]^7} {[4 (\cos (\pi /4) - \i \sin (\pi /4)]^3}.$    

Antwort:

Re $ z_1$= Im$ z_1$=
Re $ z_2$= Im$ z_2$=
Re $ z_3$= Im$ z_3$=
Re $ z_4$= Im$ z_4$=
(auf zwei Dezimalstellen gerundet)
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Lösungen folgender Anfangswertprobleme. Wo ist die Lösung definiert?

a) $ y' = \dfrac{x}{y^2}, \quad y (1) = 1;$ b) $ y' = - \dfrac{x}{y}, \quad y (1) = 3$.

Antwort:

a)$ y(3)=$

b)$ y(3)=$

(auf zwei Dezimastellen gerundet)

Aufgabe 3:
a) Wie lautet die Lösung des Anfangswertproblems

$\displaystyle y' = \frac{e^{- y}}{1 + x^2}\, , \qquad y (0) = y_0 $

mit vorgegebenem $ y_0 \in \mathbb{R}$ ?

b) Man skizziere grob den Verlauf der Lösungen für die Anfangswerte

i) $ y_0 = \ln \pi$,
ii) $ y_0 = \ln \dfrac{\pi}{2}$,
iii) $ y_0 = \ln \dfrac{\pi}{4}$.
Geben Sie die Asymptoten der Funktionen an.

c) Für welche $ y_0 \in \mathbb{R}$ besitzt das obige Anfangswertproblem eine für alle $ x \in \mathbb{R}$ existierende Lösung?

Antwort:

b)

i) waagerechte Asymptoten: $ y=$ und $ y=$ (aufsteigend sortiert)

ii) waagerechte Asymptote: $ y=$

iii) waagerechte Asymptote: $ y=$,     senkrechte Asymptote: $ x=$

c) $ y_0\ge$

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Lösung folgender separierbarer Differentialgleichungen.

a) $ y' = e^y e^x$,

b) $ y' = \dfrac{y - 1}{x},\quad x>0\,$.

Antwort:

a) Lösung zum Anfangswert $ y(0)=\ln(1/17):\ y(2)=$

b) Lösung zum Anfangswert $ y(1)=3:\ y(3)=$

(auf drei Dezimalstellen gerundet)

   
  automatisch erstellt am 11.8.2017