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Mathematik-Online-Test:

Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler - Übungen 10

Aufgabe 1:
Gegeben sei die lineare inhomogene Differentialgleichung

$\displaystyle y' - \dfrac{3 y}{x} = x^2,\quad x>0\, . $

a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.

b) Es sei $ y_1(x)$ eine Lösung der homogenen Differentialgleichung. Bestimmen Sie mit Hilfe der Darstellung

$\displaystyle y (x) = v (x) y_1 (x) $

(,,Variation der Konstanten``) eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung?

Antwort:

Lösung mit $ y(1)=5$ an der Stelle $ 3$: $ y(3)=$

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung folgender Differentialgleichungen:

a) $ y' + 10y = 0$, b) $ y'' - 9y = 0$,
c) $ y'' + 9y = 0$, d) $ y'' + 2y' + 3y = 0$.

Antwort:

a) Lösung mit $ y(1)=1$ an der Stelle $ 1/2:$ $ y(1/2)=\,$

b) Lösung mit $ y(0)=1$ und $ y'(0)=3$ an der Stelle $ 1$: $ y(1)=$

c) Lösung mit $ y(0)=1$ und $ y'(0)=3$ an der Stelle $ \pi:$ $ y(\pi)=$

d) Lösung mit $ y(0)=\sqrt{2}$ und $ y'(0)=0$ an der Stelle $ 1:$ $ y(1)=$

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die reelle Lösung folgender Anfangswertprobleme:

a) $ y' - 3y = 0, \quad y (0) = \ln 2$;

b) $ y''+4y'+(4+\omega^2)y=0, \ y(0)=1, \ y'(0)=\omega - 2$;

c) $ y''-2ky'+k^2y=0, \quad y(0)=\sqrt{2}, \ y'(0)=k\sqrt{2} \qquad (k \not= 0)$.

Antwort:

a) $ y(1)=$

b) $ y( 0.5)=$

c) Für $ k=2:\ y(1)=$

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 4:
Gegeben sei die lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung

$\displaystyle y'' + 5y = x^2\,. $

Bestimmen Sie

a) die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.

b) die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

c) die Lösung des Anfangswertproblems

$\displaystyle y''+5y=x^2\,,\qquad y(0)=\frac{23}{25}\,, y'(0)=\sqrt{5}\,. $

Antwort:

a) $ y_h=c_1\exp\Big($ $ \mathrm{i}x\Big)+c_2\exp\Big($ $ \mathrm{i}x\Big)\,,\qquad c_1,c_2\in\mathbb{C}$

b) $ y(x)=$$ x^2-$$ +y_h(x)$

c) $ y(x)=$$ x^2-$$ +\cos($ $ \,x)+\sin($$ \,x)$

(auf drei Dezimalstellen gerundet)

   
  automatisch erstellt am 11.8.2017