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Mathematik-Online-Test:

Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler - Übungen 11

Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der Differentialgleichungen

a) $ y''+2y'+5y=50x+8e^{-x} $

b) $ y''+2y'+5y= \cos 2x $

c) $ y''+2y'+5y= xe^{-x}\sin 2x $ ?

Antwort:

a) $ y(x)=$$ +$ $ x+$ $ e^{-x}+e^{-x} \Big(c_1\cos($ $ x)+c_2\sin($ $ x)\Big)\,,\qquad c_1,c_2\in\mathbb{R}$

b) $ y(x)=\dfrac{1}{17}\Big( \cos($$ x)+$$ \sin($ $ x) \Big)+e^{-x} \Big(c_1\cos($ $ x)+c_2\sin($ $ x)\Big)\,,\qquad c_1,c_2\in\mathbb{R}$

c) $ y(x)=\dfrac{e^{-x}}{16}\Big(x\sin($$ x)+$$ x^2\cos($ $ x)\Big)+ \Big(c_1\cos($ $ x)+c_2\sin($ $ x)\Big)\,,\qquad c_1,c_2\in\mathbb{R}$

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Polardarstellung der folgenden komplexen Zahlen:

% latex2html id marker 741 $\displaystyle \setcounter{monormalcnt}{0}\refstepco... ...}, \quad\refstepcounter{monormalcnt}{\bf\alph{monormalcnt})}\ -2-2\mathrm{i}\,.$

Antwort:

a) $ \exp$( $ \mathrm{i}$)
b) $ \exp$( $ \mathrm{i}$)
c) $ \exp$( $ \mathrm{i}$)
d) $ \exp$( $ \mathrm{i}$)

(Auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differenzengleichungen:

a) $ y(n+1)+3 y(n)=2\cdot 4^n,$
b) $ y(n+1)+3 y(n)= (-3)^n,$
c) $ y(n+2)-4 y(n+1)+3 y(n)=2\cdot 4^n,$
d) $ y(n+2)-4 y(n+1)+3 y(n)= 3^n,$
e) $ y(n+2)-6 y(n+1)+9 y(n)=2\cdot 3^n.$

Antwort:

a) $ y_n=$ $ \cdot$$ ^n+$ $ ^nc,\qquad c\in\mathbb{R}($bzw.$ \mathbb{C})$

b) $ y_n=$$ ^{n-1}n+$ $ ^nc,\qquad c\in\mathbb{R}($bzw.$ \mathbb{C})$

c) $ y_n=$ $ \cdot$$ ^n+c_1+$ $ ^nc_2,\qquad c_1,c_2\in\mathbb{R}($bzw.$ \mathbb{C})$

d) $ y_n=$ $ \cdot n\cdot$$ ^n+c_1+$ $ ^nc_2,\qquad c_1,c_2\in\mathbb{R}($bzw.$ \mathbb{C})$

e) $ y_n=$ $ \cdot n^2\cdot$$ ^n+$ $ ^n\cdot(c_1+c_2n), \qquad c_1,c_2\in\mathbb{R}($bzw.$ \mathbb{C})$

(Auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der folgenden Differenzengleichung:

$\displaystyle y(n+2)-4 y(n+1)+5 y(n)=2\cdot 4^n\,.$

Antwort:

$ y_n=$$ \cdot$$ ^n+$ $ ^{n/2}(c_1\cos n\arccos($ $ )+c_2\sin n\arccos($ $ )), \qquad c_1,c_2\in\mathbb{R}$

(Auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 5:
Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:

$\displaystyle y(n+2)-4 y(n+1)+5 y(n)=2\cdot 4^n,\quad y(0)=1, \, y(1)=3\,.$

Antwort:

$ y_n=$$ \cdot$$ ^n+$$ ^{n/2}($ $ \cos n\arccos($ $ )+$ $ \sin n\arccos($ $ )), \qquad c_1,c_2\in\mathbb{R}$

(Auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Systems von Differenzengleichungen:

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x(n+1)-x(n)&=&2\cdot 3^n+y(n)\\ 2y(n+1)+y(n)&=&3^n-x(n)\\ \end{array}\end{displaymath}

Antwort:

$ x_n=c_1\cdot$ $ ^n+$$ ^n$
$ y_n=-c_1\cdot$ $ ^{n+1}$
   
  automatisch erstellt am 11.8.2017