Mathematik-Online-Test: Numerik, Test 2

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	Numerik, Test 2

Aufgabe 1:
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind:

a): Für eine symmetrische Matrix ist $\Vert A\Vert _2\leq\Vert A\Vert _\infty$ .
keine Angabe , wahr , falsch .
b): Das LGS besitzt für jede Matrix eine Lösung.
keine Angabe , wahr , falsch .
c): Das Interpolationspolynom positiver Daten ist positiv.
keine Angabe , wahr , falsch .
d): Die Jacobi-Iteration zur Lösung des linearen Gleichungssystems konvergiert, wenn die Beträge der Diagonalelemente von kleiner als 1 sind.
keine Angabe , wahr , falsch .
e): Die Trapezregel integriert Parabeln exakt.
keine Angabe , wahr , falsch .

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie (ohne Permutation von Spalten oder Zeilen) die

und Cholesky-Zerlegung der Matrix

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc} 4&0&3 \\ 0&1&0 \\ 3&0&4 \end{array}\right].$

Antwort:

LR-Zerlegung (alle Werte positiv):

$L=\frac{1}{4} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$

0 0

0

$\left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ , $R= \frac{1}{4}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$

0

0 0

$\left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

QR-Zerlegung (mit positiven Diagonalelementen in R):

$Q=\frac{1}{5} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$

$\left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ , $R= \frac{1}{5}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$

0

0 0

$\left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Cholesky-Zerlegung:

$R= \frac{1}{2}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$

0

0 0 $\Big($ $\Big)^{1/2}$

$\left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Fixpunkte der Abbildung

$\displaystyle g(x) = \frac{3}{2+x}$

und untersuchen Sie, ob diese anziehend oder abstoßend sind.

Für welche Intervalle $[\alpha, 2]$ , $\alpha\geq 0$ , sind die Voraussetzungen des Banach'schen Fixpunktsatzes erfüllt? Bestimmen für die zulässigen $\alpha$ die minimale Kontraktionskonstante .

Antwort:

Fixpunkte:

$x_{1}=$ $\; < \; x_{2}=$

Fixpunkt-Typ:
$x_{1}$ : keine Angabe , anziehend , abstoßend .
$x_{2}$ : keine Angabe , anziehend , abstoßend .

Zugelassene Intervalle:
$[\alpha, 2]$ mit $\leq 4\alpha \leq$ .

Minimale Kontraktionskonstante (vollständig gekürzt):
.

Aufgabe 4:
Führen Sie für das LGS

$\displaystyle \left[ \begin{array}{cc} 2 & a \\ 1 & 2 \end{array} \right] \left... ...\\ x_2 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 4 \\ 8 \end{array} \right]$

jeweils einen Schritt der Jacobi- und Gauß-Seidel-Iteration mit Startwert $X_{0}=[1,0]^t$ durch. Bestimmen Sie die Parameter $a\in \mathbb{R}$ , für die die Iteration konvergiert.

Antwort:

Jacobi-Iteration:

$X_{1}=\frac{1}{2}\Big[$ , $\Big]^{\operatorname t}$ , $\vert a\vert<$ .

Gauß-Seidel-Iteration:

$X_{1}=\Big[$ , $\Big]^{\operatorname t}$ , $\vert a\vert<$ .

Aufgabe 5:
Für welche $\alpha \in \mathbb{R}$ ist die zulässige Basislösung

des durch

$\begin{displaymath} \begin{array}{c\vert c} A & B\\ \hline C^t & \end{array}\qu... ...-1 & 2 & 0 & 4 & 4 \\ \hline \alpha & -1 & 1 & 0 & \end{array}\end{displaymath}$

gegebenen linearen Programms optimal? Geben Sie die $\alpha$ an, für die keine Lösung existiert.

Antwort: Basislösung optimal für $\alpha \in \Big[$ , $\Big]$ .

Keine Lösung für $\alpha<$ .

Aufgabe 6:
Schreiben Sie ein MATLAB-Programm

ratip

, das die Koeffizienten

für das rationale Interpolationsproblem

$\displaystyle \frac{p(x_i)}{q(x_i)}=f_i\,,$

$\displaystyle p(x) = a_1+a_2x+\cdots+a_nx^{n-1}+a_{n+1}x^n\,,\quad q(x) = 1+b_1x+\cdots+b_nx^n$

durch Lösen des LGS

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n+1} a_jx_i^{j-1} = (1+\sum_{k=1}^n b_kx_i^k)f_i\,,\quad i=1:2n+1\,,$

bestimmt. Verwenden Sie den MATLAB-Befehl \, so dass bei einem singulären System die Ausgleichslösung berechnet wird.

Hinweis: Schreiben Sie als Spaltenvektoren.

Antwort:

Ausgabe des Programms beim Aufruf

>> x=pi*[0:.5:2]
>> f=cos(x)
>> [A,B]=ratip(x',f')

auf vier Nachkommastellen gerundet:

A=[ ; ; ], B=[ ; ] .

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von J. Wipper)

automatisch erstellt am 5.10.2004