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Mathematik-Online-Test:

Numerik, Test 2


Aufgabe 1:
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind:

a)
Für eine symmetrische Matrix $ A$ ist $ \Vert A\Vert _2\leq\Vert A\Vert _\infty$ .
keine Angabe , wahr , falsch .
b)
Das LGS $ A^tAX=A^tB$ besitzt für jede Matrix $ A$ eine Lösung.
keine Angabe , wahr , falsch .
c)
Das Interpolationspolynom positiver Daten ist positiv.
keine Angabe , wahr , falsch .
d)
Die Jacobi-Iteration zur Lösung des linearen Gleichungssystems $ AX=B$ konvergiert, wenn die Beträge der Diagonalelemente von $ A$ kleiner als 1 sind.
keine Angabe , wahr , falsch .
e)
Die Trapezregel integriert Parabeln exakt.
keine Angabe , wahr , falsch .

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie (ohne Permutation von Spalten oder Zeilen) die $ LR-$, $ QR-$ und Cholesky-Zerlegung der Matrix

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}
4&0&3 \\ 0&1&0 \\ 3&0&4
\end{array}\right].
$

Antwort:

LR-Zerlegung (alle Werte positiv):
$ L=\frac{1}{4} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0 0
0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ ,      $ R= \frac{1}{4}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

QR-Zerlegung (mit positiven Diagonalelementen in R):
$ Q=\frac{1}{5} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ ,      $ R= \frac{1}{5}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Cholesky-Zerlegung:
$ R= \frac{1}{2}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
0 0 $ \Big($ $ \Big)^{1/2}$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$  


Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Fixpunkte der Abbildung

$\displaystyle g(x) = \frac{3}{2+x} $

und untersuchen Sie, ob diese anziehend oder abstoßend sind.

Für welche Intervalle $ [\alpha, 2]$, $ \alpha\geq 0$, sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt? Bestimmen für die zulässigen $ \alpha$ die minimale Kontraktionskonstante $ c$.


Antwort:

Fixpunkte:
$ x_{1}=$ $ \; < \; x_{2}=$

Fixpunkt-Typ:
$ x_{1}$: keine Angabe , anziehend , abstoßend .
$ x_{2}$: keine Angabe , anziehend , abstoßend .

Zugelassene Intervalle:
$ [\alpha, 2]$ mit $ \leq
4\alpha \leq$ .

Minimale Kontraktionskonstante (vollständig gekürzt):
$ c=$$ /$.


Aufgabe 4:
Führen Sie für das LGS

$\displaystyle \left[ \begin{array}{cc} 2 & a \\ 1 & 2 \end{array} \right]
\left...
...\\ x_2 \end{array} \right]=
\left[ \begin{array}{c} 4 \\ 8 \end{array} \right]
$

jeweils einen Schritt der Jacobi- und Gauß-Seidel-Iteration mit Startwert $ X_{0}=[1,0]^t$ durch. Bestimmen Sie die Parameter $ a\in \mathbb{R}$ , für die die Iteration konvergiert.


Antwort:

Jacobi-Iteration:
$ X_{1}=\frac{1}{2}\Big[$ , $ \Big]^{\operatorname t}$ ,     $ \vert a\vert<$ .

Gauß-Seidel-Iteration:
$ X_{1}=\Big[$ , $ \Big]^{\operatorname t}$ ,     $ \vert a\vert<$ .


Aufgabe 5:
Für welche $ \alpha \in \mathbb{R}$ ist die zulässige Basislösung $ X=[2,3,0,0]^t$ des durch

\begin{displaymath}
\begin{array}{c\vert c}
A & B\\ \hline
C^t &
\end{array}\qu...
...-1 & 2 & 0 & 4 & 4 \\ \hline
\alpha & -1 & 1 & 0 &
\end{array}\end{displaymath}

gegebenen linearen Programms optimal? Geben Sie die $ \alpha$ an, für die keine Lösung existiert.


Antwort: Basislösung optimal für $ \alpha \in \Big[$ , $ \Big]$ .

Keine Lösung für $ \alpha<$ .


Aufgabe 6:
Schreiben Sie ein MATLAB-Programm $ [A,B] =$   ratip$ (X,F)$ , das die Koeffizienten $ a_i,b_i$ für das rationale Interpolationsproblem

$\displaystyle \frac{p(x_i)}{q(x_i)}=f_i\,,
$

$\displaystyle p(x) = a_1+a_2x+\cdots+a_nx^{n-1}+a_{n+1}x^n\,,\quad
q(x) = 1+b_1x+\cdots+b_nx^n
$

durch Lösen des LGS

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n+1} a_jx_i^{j-1} = (1+\sum_{k=1}^n b_kx_i^k)f_i\,,\quad i=1:2n+1\,,
$

bestimmt. Verwenden Sie den MATLAB-Befehl \, so dass bei einem singulären System die Ausgleichslösung berechnet wird.

Hinweis: Schreiben Sie $ A,B,X,F$ als Spaltenvektoren.


Antwort:

Ausgabe des Programms beim Aufruf

>> x=pi*[0:.5:2]
>> f=cos(x)
>> [A,B]=ratip(x',f')
auf vier Nachkommastellen gerundet:
A=[ ; ; ],          B=[ ; ] .


   

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von J. Wipper) automatisch erstellt am 5.10.2004