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Mathematik-Online-Test:

Mint-Kolleg Mathematik, Modul 02 Vektoren - Geraden - Ebenen, Test 1


Aufgabe 1:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen über Vektoren im $ \mathbb{R}^3$ wahr oder falsch sind.

a)
Die Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ , $ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$ und $ \left( \begin{array}{c} 2 \\
1 \\ 3 \end{array} \right)$ sind linear unabhängig in $ \mathbb{R}^3$.

b)
Die Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ , $ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) $ und $ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) $ bilden ein Erzeugendensystem des $ \mathbb{R}^3$.

c)
Die Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ , $ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) $ und $ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) $ bilden eine Basis des $ \mathbb{R}^3$.

d)
Die Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ 12 \end{array} \right)$ und $ \left( \begin{array}{c} 21 \\ 15 \\ 36 \end{array} \right) $ können zu einer Basis des $ \mathbb{R}^3$ ergänzt werden.

e)
Der Vektor $ \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) $ liegt in der linearen Hülle der Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 2 \\
1 \\ 3 \end{array} \right)$ und $ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) $.

f)
Die Dimension des von den Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 9 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right) $ , $ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 8 \end{array} \right)$ und $ \left( \begin{array}{c} 17 \\ -14 \\ -7 \end{array} \right)$ aufgespannten Untervektorraums des $ \mathbb{R}^3$ ist 3.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Aufgabe 2:
Gegeben sind die Vektoren

\begin{displaymath}
v_1=\left(
\begin{array}{r}\alpha\\ -2\\ 0\end{array}\right)...
...uad
v_3=\left(
\begin{array}{r}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)\,.
\end{displaymath}

Bestimmen Sie $ \alpha_1$ so, dass die Vektoren linear abhängig sind und stellen Sie $ v_1$ als Linearkombination aus $ v_2$ und $ v_3$ dar.

$ \alpha_1 = $

$ v_1= $$ v_2 + $ $ v_3$

Wie muss $ \beta$ gewählt werden, dass die Vektoren

\begin{displaymath}
w_1=\left(
\begin{array}{r}\alpha_1\\ -2\\ 0\\ 4\end{array}\...
..._3=\left(
\begin{array}{r}1\\ 1\\ -1\\ 0 \end{array}\right)\,.
\end{displaymath}

linear abhängig sind? $ \beta = $


Aufgabe 3:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus den 5 Vektoren

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right) , \;
\left(\begi...
...\ 3 \end{array} \right) , \;
\left(\begin{array}{c} 2\\ 0 \end{array} \right)
$

eine Basis des $ \mathbb{R}^2$ auszuwählen?


Antwort:
Anzahl der Möglichkeiten:


Aufgabe 4:
Normieren Sie die Vektoren

$\displaystyle \vec{u}=(1,4,8)^\mathrm{t},\quad \vec{v}=(8,-4,1)^\mathrm{t}$

und ergänzen Sie sie zu einer Orthonormalbasis $ \left\{\frac{\vec{u}}{\vert\vec{u}\vert},\frac{\vec{v}}{\vert\vec{v}\vert},\vec{w}\right\}$.

Antwort:
$ \vert\vec{u}\vert=$ $ \, ,\qquad \vert\vec{v}\vert=$ $ \,, \qquad \vec{w}=(4,$,$ )^t/9$


Aufgabe 5:
Berechnen Sie auf möglichst einfache Weise:

a) $ {\displaystyle{\left(
\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) ...
...ght)
\right) \times
\left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)}}$ b) $ {\displaystyle{\left<
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)...
...ght)
\times
\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 6 \end{array} \right)
\right>}}$

c) $ {\displaystyle{\left( \left(
\left( \begin{array}{c} 92 \\ 101 \\ 0 \end{array...
...)
\times
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 114 \\ 26 \end{array} \right)
\right)}}$

Antwort:
a) $ \Big($,, $ \Big)^\mathrm{t}$          b) $ +$ $ a$          c) $ \Big($,, $ \Big)^\mathrm{t}$


Aufgabe 6:
Berechnen Sie für den Tetraeder mit den Eckpunkten

$\displaystyle (0,0,0),\quad (2,0,1), \quad (0,2,1), \quad (0,0,3)
$

die Inhalte der Seitenflächen und das Volumen.

Antwort:
Flächen: $ \leq$ $ \leq$ $ \leq$

Volumen:

(auf drei Dezimalstellen gerundet)


   

  automatisch erstellt am 19.12.2011