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Mathematik-Online-Test:

Integration von Funktionen einer Veränderlichen, lineare Algebra


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V2   A2 V-   A3 V-   A4 V-   A5 V-   A6 V-   A7 V- 
Variantenauswahl: - - - - - -

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
a) $ \displaystyle \int\limits_{-2}^2 x-\sin^3(x)+\sin(2x) \,dx$          b) $ \displaystyle \int\limits_0^{2\pi} x^2\cos(x) \,dx$          c) $ \displaystyle \int\limits_0^{\pi/3} \sin^2(x)-\sin(x)+1 \,dx$

Antwort:

a)                  b)                  c)
(auf vier Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 2:
Bestimmen Sie für die Matrizen

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&0\\ 3&0&4\\ 0&5&6\end{array}\right),
\qquad
B=\left(\begin{array}{rrr}1&0&2\\ 3&0&6\\ 4&0&8\end{array}\right)
$

möglichst einfach die Werte der folgenden Ausdrücke.

$\displaystyle {\bf a)} \ \det(A^{-1}) \quad
{\bf b)} \ \det\left(AB\right)\quad...
...ght)\quad
{\bf e)} \ \operatorname{Rang}\left(B^{\,\rm {t}}A^{\rm {t}}A\right)
$

Lösung: (Ergebnisse sind auf vier Nachkommastellen zu runden)

a)
b)
c)
d)
e)


Aufgabe 3:
Transformieren Sie das lineare Gleichungssystem

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 2 & 3...
...3\\ x_4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1\\ 4\\ 2\end{array}\right) $

auf Echelon-Form und bestimmen Sie die allgemeine Lösung $ x$ .

Antwort:

Echelon-Form:

$ \left(\rule{0pt}{5.2ex}\right.$
1 2 0 3
0 1 4 0
$ -2$
$ \left.\rule{0pt}{5.2ex}\right)x=\left(\rule{0pt}{5.2ex}\right.$
1
4
$ \left.\rule{0pt}{5.2ex}\right)$


Allgemeine Lösung:

$ x=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
0
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)+t\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
1
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$


Aufgabe 4:
Bestimmen Sie für

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 1\\
-1 & 2\\
0 & -1\\
0 & 1\\
...
...ight) \,,
\qquad
b=\left( \begin{array}{r}-1\\ 0\\ 2\\ 0\\ 2\end{array}\right)
$

die Lösung des Ausgleichsproblems $ \vert Ax-b\vert\longrightarrow\min$.
$ x=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$,          $ \vert Ax-b\vert^2=$ .


Aufgabe 5:
Bestimmen Sie die Eigenwerte $ \lambda_i$ und Eigenvektoren $ v_i$ der Matrix

$\displaystyle A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 3 & -1\\ 5 & -3\end{array}\right) $

sowie die Matrixpotenz $ A^{2222}$.


Lösung:

Eigenwerte von $ A$ aufsteigend sortiert: $ \lambda_1=$ ,      $ \lambda_2=$ ,

$ A^{2222}=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$.


Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die singulären Werte $ s_1,s_2$ und die Pseudoinverse $ A^+$ der Matrix

$\displaystyle A =
\left(\begin{array}{rr}
0 & 3 \\ -1 & 0 \\ 0 & 4
\end{array}\right) \, .
$

Antwort:

$ s_1=$ $ \geq\ s_2=$ ,     
$ A^{+}=\displaystyle{\frac{1}{25}}\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$ .

Aufgabe 7:
Bestimmen Sie für den Kegel

$\displaystyle K:\, x^2-y^2+z^2+2x-6z+10=0 $

a)
die Spitze $ S$, die Richtung $ v$ der Rotationsachse und den Öffnungswinkel $ \alpha$
b)
die geometrische Gestalt, des Schnittes von $ K$ mit der Ebene $ y=1$.

Antwort:

a)
$ S=\Big($ , , $ \Big)$ , $ v=\Big($ , 1 , $ \Big)^{\operatorname t}$ , $ \alpha=$ $ \pi$.
b)
    Gerade          Hyperbel         Parabel         Kreis         Quadrat


   

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von C. Apprich, M. Boßle, J. Hörner und J. Wipper) automatisch erstellt am 17.2.2014