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Mathematik-Online-Test:

Mint-Kolleg Mathematik, Modul 03 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen, Test 1

Aufgabe 1:
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem.

\begin{displaymath} \begin{array}{r@{}r@{}lrr@{}lrr@{}lcr@{}r} & & & - & & x_2 ... ... 3 & x_1 & - & 4 & x_2 & - & 7 & x_3 & = & - & 1\\ \end{array}\end{displaymath}

Antwort:

$ x_1=$      $ x_2=$      $ x_3=$     

(auf drei Dezimalstellen runden)

Aufgabe 2:

Sie wollen für die Gruppenübung in Höherer Mathematik Kuchen backen. Dafür haben Sie mehrere Rezepte zur Auswahl: Für einen Napfkuchenteig brauchen Sie 500g Mehl, 250g Zucker, 250g Butter und 5 Eier, für einen großen Rührkuchen 6 Eier, 500g Zucker, 400g Butter und 500g Mehl, und für einen kleinen Strudel 250g Mehl, 50g Butter und 2 Eier. Sie plündern die WG-Küche und finden 1kg Mehl, $ \frac{1}{4}$ kg Zucker, 9 Eier und einige Butterüberreste, die zusammen 350g ergeben. Wieviele Kuchen von welcher Sorte können Sie damit backen, wenn Sie alle Vorräte aufbrauchen wollen?

Antwort:

Napfkuchen,          Rührkuchen     und      Strudel
Aufgabe 3:
Es sei $ K$ ein Körper und $ A \in K^{m \times n}$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
Das lineare Gleichungssystem $ Ax = 0$ ist nur lösbar, falls $ \operatorname{rg}(A)=m$.

b)
Das lineare Gleichungssystem $ Ax = b$ ist genau dann lösbar, wenn der Rang von $ A$ mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt.

c)
Ist $ m=n$ und $ \operatorname{det}(A) \not= 0$, so ist das lineare Gleichungssystem $ Ax = b$ eindeutig lösbar.

d)
Ist $ K$ ein unendlicher Körper, so hat jedes lineare Gleichungssystem der Form $ Ax = b$ unendlich viele Lösungen.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 4:
Berechnen Sie das folgende Matrizenprodukt:
$ \left(\begin{array}{rrr}1&0&2\\ -2&-1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}... ...end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}0&2\\ 1&4\\ -1&-1\end{array}\right) =$ $ \left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$.
Aufgabe 5:
In den abgebildeten Matrizen sind mit $ *$ die von Null verschiedenen Einträge gekennzeichnet.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} * & * & 0 & 0 \\ 0 & * & * & 0 \\ 0 & 0 & ... ...& * & * \\ 0 & 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Geben Sie an, in welchen Positionen die Matrixprodukte

$\displaystyle AB,\,BC,\,(A+B)^2,\,C^2$

ungleich Null sein können.

Lösung:

Tragen sie in die Matrizen entweder 0 für einen Nulleintrag oder $ *$ für einen Eintrag ein, der ungleich Null sein kann:

$ AB=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$      $ BC=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
$ (A+B)^2=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$      $ C^2=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Aufgabe 6:
Berechnen Sie die Determinante und die Inverse der Matrix $ A=\left( \begin{array}{rrr} 1&2&1\\ 0&1&0\\ 1&3&-1 \end{array}\right)$:

$ \det(A)=$
$ A^{-1}=\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{2}}$ $ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$.

   
  automatisch erstellt am 19.12.2011