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Mathematik-Online-Test:

Mint-Kolleg Mathematik, Modul 07 Folgen, Test 1


Aufgabe 1:
Ermitteln Sie, ob folgende Grenzwerte existieren und berechnen Sie diese gegebenenfalls.
a) $ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^3}{n+n^3}$                  b) $ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{2n-n^3}$                  c) $ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2-n^3}{n+n^3}$                  d) $ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n-n^2}{2n^3}$

Antwort:

a)
nein        ja        Grenzwert:
b)
nein        ja        Grenzwert:
c)
nein        ja        Grenzwert:
d)
nein        ja        Grenzwert:


Aufgabe 2:

Untersuchen Sie, ob die angegebenen Folgen monoton, beschränkt oder Cauchy-Folge sind.

a) $ {\displaystyle{a_n = \frac{n^2+2}{n^2+1}}}$                 b) $ {\displaystyle{a_n = (-1)^n\,\frac{{\rm {e}}^{\,n}}{4^n+5}}}$                 c) $ {\displaystyle{a_n = n-\frac{1}{n}}}$

Antwort:

a)
beschränkt        monoton        Cauchy-Folge
b)
beschränkt        monoton        Cauchy-Folge
c)
beschränkt        monoton        Cauchy-Folge


Aufgabe 3:
Bestimmen Sie den Grenzwert der durch

$\displaystyle \frac{1+2+3+\dots+n}{n^2}
$

definierten Folge $ (a_n)$ .


Antwort:
$ 1 /$


Aufgabe 4:
Bestimmen Sie das Supremum und Infimum sowie den Limes superior, den Limes inferior und sämtliche Häufungspunkte der Folge

$\displaystyle a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\frac{n+2}{2n}\,,\quad n=1,2,\ldots\,.
$

Antwort:

$ \inf\limits_n a_n =$$ /$                  $ \sup\limits_n a_n =$$ /$
$ \operatorname*{\underline{lim}}\limits_{n\rightarrow\infty} a_n =$$ /$                  $ \operatorname*{\overline{lim}}\limits_{n\rightarrow\infty} a_n =$ $ /$
(gekürzt; Nenner positiv)
Aufgabe 5:
Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der nachstehenden Folgen $ (a_n)$ und geben Sie jeweils $ \operatorname*{\underline{\lim}}\limits_{n\rightarrow\infty} a_n$ und $ \operatorname*{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow\infty} a_n$ an.

   a)$\displaystyle \quad a_n=\frac{(-1)^n(3n-1)}{n+3}$   b)$\displaystyle \quad a_n=\frac{1}{n}\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)$   c)$\displaystyle \quad a_n=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\big(1+(-1)^n\big)
$


Lösung: Geben Sie jeweils das Produkt $ P$ aller Häufungspunkte und die gesuchten Limites an:

a)
$ P={}$, $ \operatorname*{\underline{lim}}\limits_{n\rightarrow\infty} a_n={}$, $ \operatorname*{\overline{lim}}\limits_{n\rightarrow\infty} a_n={}$.
b)
$ P={}$, $ \operatorname*{\underline{lim}}\limits_{n\rightarrow\infty} a_n={}$, $ \operatorname*{\overline{lim}}\limits_{n\rightarrow\infty} a_n={}$.
c)
$ P={}$, $ \operatorname*{\underline{lim}}\limits_{n\rightarrow\infty} a_n={}$, $ \operatorname*{\overline{lim}}\limits_{n\rightarrow\infty} a_n={}$.

Aufgabe 6:
Für eine Folge $ x_1, \ x_2, \ldots $ sei jedes Glied um $ 1$ kleiner als die Summe seiner Nachbarn:

$\displaystyle x_k = x_{k-1} + x_{k+1}-1, \quad k = 2, 3, \ldots .
$

Jede solche Folge ist periodisch.

Antwort:

Periodenlänge:

 
Summe:

Folgenglieder:
 
$ x_{11} =$
$ x_{22} = $
$ x_{33} = $
$ x_{44} = $
$ x_{55} = $


   

  automatisch erstellt am 7.5.2012