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Mathematik-Online-Test:

Mint-Kolleg Mathematik, Modul 08 Stetigkeit und Differenzieren, Test 1


Aufgabe 1:
Untersuchen Sie, ob sich die folgenden Funktionen bei $ x_0$ stetig fortsetzen lassen, und geben Sie im Falle der Fortsetzbarkeit den Funktionswert der Fortsetzung bei $ x_0$ an.

a)

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x^3+3x^2-4} \;, \qquad x_0=-2
$

keine Angabe ,    nicht fortsetzbar ,     fortsetzbar     mit Funktionswert:
b)

$\displaystyle f(x)=\frac{2}{1-x}\left(\frac{1}{2x-1}-\frac{2}{3x-1}\right)\; , \qquad
x_0=1 $

keine Angabe ,    nicht fortsetzbar ,     fortsetzbar     mit Funktionswert:
c)

$\displaystyle f(x)=4x\cot(2x)\; , \qquad x_0=0
$

keine Angabe ,    nicht fortsetzbar ,     fortsetzbar     mit Funktionswert:

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie $ a$, $ b$ und $ c$ so, dass die folgenden Funktionen auf ganz $ \mathbb{R}$ stetig sind.

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\textbf{ a)}\, f({x})=\left\{
\begin{arr...
... & \textrm{ für } {x}> \pi/2\\
\end{array}\right.
\end{array}\end{displaymath}

Antwort:

a) $ a$ =

b) $ b$ = , $ c$ =


Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Exponentialfunktionen. Geben Sie den Wert der Ableitungen an der Stelle $ x=0$ an.
a)
$ f(x)=x^2e^x$.
b)
$ g(x)=\frac{1}{2} (e^x+e^{-x})$.
c)
$ h(x)=\displaystyle \frac{5}{1+3e^{-0.1x}}$.

Antwort:

a)
b)
c)
(auf drei Dezimalstellen gerundet)
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $ D_f\subseteq\mathbb{R}$ und die erste Ableitung der folgenden Funktionen $ f:D_f\to\mathbb{R}$ .
a)     $ f(x)=\dfrac{2+x}{3-x}$          b)     $ f(x)=\sqrt{1-e^x}$          c)     $ f(x)=\ln(2+\sin x)$

Antwort: (Eingaben ganzzahlig mit kleinstem positivem $ c$)

a)
$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f'(x) =$ $ \dfrac{b}{(c-x)^d}$          mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$.

b)
$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f'(x) =$ $ \dfrac{be^x}{c\sqrt{d(1-e^x)}}$        mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$.

c)
$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f'(x) =$ $ \dfrac{b\cos x}{c+d\sin x}$        mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$.


Aufgabe 5:
Bestimmen Sie für

$\displaystyle y = \frac{x^2+20x+100}{x}, \;\; x \ne 0,$

die Gleichung der Tangenten an der Stelle $ x=10$.

Antwort:

$ y =$ $ x$ $ +$
Aufgabe 6:

Bestimmen Sie den Koeffizienten $ k\in\mathbb{Z}$ des Terms $ x^3\sin x$ in der vierten Ableitung der Funktion.

$\displaystyle f(x)=x^5\sin x$

Antwort:

 


   

  automatisch erstellt am 7.5.2012