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Mathematik-Online-Test:

Mint-Kolleg Mathematik, Modul 09 Anwendungen der Differentialrechnung, Test 1


Aufgabe 1:
Berechnen Sie für die folgenden Funktionen die zehnte Ableitung an der Stelle $ x=0$.

$\displaystyle {\bf a)}\quad f(x)=\frac{x^9}{\sqrt{1+x}}\, \qquad\quad
{\bf b)}\quad f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^9}}
$

Antwort:

a)                          b)


Aufgabe 2:
Bestimmen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung den Grenzwert

$\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty} \left( \sin \sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x}\right)\,.
$

Lösung: Grenzwert:


Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
a) $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+\sin(3x)}{2x-\sin(x)}}$                         b) $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pi/2-}(\cos x)^{(x-\pi/2)}}$
c) $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow
0+}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right)}$                         d) $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow
\infty}\frac{\sqrt{x^2+2}}{x}}$

Antwort:

a)                 b)                 c)                 d)


Aufgabe 4:
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{x^4-9x^2}{x^3-x}\,.$

  1. Definitionsbereich

    Geben Sie alle $ x\in\mathbb{R}$ , für die $ f$ nicht definiert ist aufsteigend sortiert an, und beschreiben Sie sie näher.

    $ x_1=$ keine Angabe keine Polstelle einfache Polstelle doppelte Polstelle
    $ x_2=$ keine Angabe keine Polstelle einfache Polstelle doppelte Polstelle
    $ x_3=$ keine Angabe keine Polstelle einfache Polstelle doppelte Polstelle

  2. Symmetrie

    keine Angabe
    $ f$ ist symmetrisch zur $ x$ -Achse
    $ f$ ist symmetrisch zur $ y$ -Achse
    $ f$ ist symmetrisch zum Ursprung
    $ f$ ist nicht symmetrisch

  3. Nullstellen

    Geben Sie alle rellen Nullstellen von $ f$ aufsteigend sortiert an.

    $ x_4=$ $ \quad$ $ x_5=$

  4. Extrempunkte

    keine Angabe
    $ f$ besitzt keine Extrempunkte
    $ f$ besitzt genau einen Extrempunkt
    $ f$ besitzt genau zwei Extrempunkt
    $ f$ besitzt drei oder mehr Extrempunkte

  5. Wendepunkte

    keine Angabe
    $ f$ besitzt keine Wendepunkte
    $ f$ besitzt genau einen Wendepunkt
    $ f$ besitzt genau zwei Wendepunkt
    $ f$ besitzt drei oder mehr Wendepunkte

  6. Asymptoten

    $ f$ besitzt die Gerade $ y=$ $ x +$ als Asymptote.

  7. Graph

    Geben Sie an, welcher Graph zu $ f$ gehört.

     keine Angabe Graph 1 Graph 2
       \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion1.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion2.eps}
       Graph 3 Graph 4
       \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion3.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion4.eps}


Aufgabe 5:
Die unten abgebildete Funktion ist der Quotient zweier quadratischer Funktionen.

$\displaystyle y(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$

\includegraphics[width=0.7\linewidth]{funktionendiskussion.eps}

Bestimmen sie $ p(x)$ und $ q(x)$ sowie das lokale Maximum und den Schnittpunkt mit der Asymptoten in Abhängigkeit von dem Parameter $ t>0$.

Antwort:

$ p(x)=$ $ x^2 +$ $ tx +$ $ t^2\qquad\qquad $ $ q(x)= x^2 +$ $ x +$

$ x$-Wert des Schnittpunkts mit der Asymptoten in Abhängigkeit von $ t$:

$ t^2+$ $ t +$

$ t^2+$ $ t +1$

Lokales Maximum für $ t=1$:

$ a=$         $ b=$

(auf vier Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 6:
Ein Fußballstadion in Schottland hat $ 60\,000$ Plätze. Aufgrund der Sparsamkeit der Bevölkerung wird die Anzahl $ n$ der bei einem Heimspiel verkauften Karten ausschließlich durch den Preis $ p$ (in $ \pounds$) bestimmt:

$\displaystyle n=100\,000 -2000\, p\,.
$

a) Für welchen Preis $ p$ sind die erzielten Einnahmen $ E$ maximal?
b) Für welchen Preisbereich $ p_{\min} \leq p \leq p_{\max}$ sind die Einnahmen $ \geq \pounds \ 1.200.000$?
c) Welcher Preis maximiert die Einnahmen, wenn nicht verkaufte Karten am Spieltag zum halben Preis an Schüler und Studenten abgegeben werden (ausreichende Nachfrage vorausgesetzt)?


Antwort:

a) $ p$ =
  $ E$ =
b) $ p_{\min}$ =
  $ p_{\max}$ =
c) $ p$ =
  $ E$ =

(alle Angaben in $ \pounds$)


   

  automatisch erstellt am 10.7.2012