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Mathematik-Online-Test:

Mint-Kolleg Mathematik, Modul 10 Reihen, Test 1


Aufgabe 1:
Gegeben seien zwei reelle Folgen $ (a_n)$ und $ (b_n)$ sowie die Reihen

$\displaystyle A=\sum_{n=1}^\infty a_n, \qquad B=\sum_{n=1}^\infty b_n$   und$\displaystyle \quad C=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n. $

Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind:

$ A$ konvergiert $ \Longleftrightarrow$ $ (a_n)$ ist Nullfolge keine Angabe wahr falsch
$ a_{n+1}<\frac{1}{2}\,a_n, \ \forall\ n\in\mathbb{N}$ $ \Longrightarrow$ $ A$ konvergiert keine Angabe wahr falsch
$ b_n=(-1)^n/\sqrt[3]{n}$ $ \Longrightarrow$ $ B$ konvergiert keine Angabe wahr falsch
$ A$ konvergiert und $ B$ divergiert $ \Longrightarrow$ $ C$ divergiert keine Angabe wahr falsch


Aufgabe 2:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.

a) $ \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}}$                          b) $ \displaystyle{\sum_{n=2}^\infty\frac{(1-\sqrt{n})^2}{n^2-1} }$

Antwort:

a) divergiert        konvergiert                 b) divergiert        konvergiert


Aufgabe 3:
Geben Sie an, welche der folgenden Reihen konvergieren und welche absolut konvergieren.
a)      $ \displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{2+n}$          b)      $ \displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n^2}$          c)      $ \displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\ln n}{n^3}$

Antwort:

a) divergiert ja     nein
  konvergiert ja     nein
  konvergiert absolut ja     nein
b) divergiert ja     nein
  konvergiert ja     nein
  konvergiert absolut ja     nein
c) divergiert ja     nein
  konvergiert ja     nein
  konvergiert absolut ja     nein


Aufgabe 4:
Überprüfen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren.
a) $ \ds\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\frac{1}{\sqrt{k}}$                  b) $ \ds\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{1}{k\left(1+\cos^2(\frac{\pi}{2}k)\right)}$

Antwort:

a) konvergiert        divergiert                         b) konvergiert        divergiert

Aufgabe 5:
Bestimmen Sie für jede der folgenden Potenzreihen ihren Konvergenzradius $ r ,$ die Menge $ A$ aller $ x \in \mathbb{R}$, für die die Reihe absolut konvergiert, und die Menge $ K$ aller $ x \in \mathbb{R}$, für die die Reihe konvergiert:

$ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{(-3)^n}{n + \sqrt{n}} \,x^n}}\,,
\quad\,$ $ r=1\Big/$
keine Aussage
$ A=(r,r)$
$ A=[r,r]$
$ A=(r,r]$
$ A=[r,r)$
keine Aussage
$ K=(r,r)$
$ K=[r,r]$
$ K=(r,r]$
$ K=[r,r)$
   
$ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,(-1)^n \left ( \frac{2}{3} \right )^n
\,x^n}}\,, \quad\,$ $ r=$$ \Big/2$
keine Aussage
$ A=(r,r)$
$ A=[r,r]$
$ A=(r,r]$
$ A=[r,r)$
keine Aussage
$ K=(r,r)$
$ K=[r,r]$
$ K=(r,r]$
$ K=[r,r)$
   
$ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2 \cdot 4^n} \,x^n}}\,, \quad\,$ $ r=$
keine Aussage
$ A=(r,r)$
$ A=[r,r]$
$ A=(r,r]$
$ A=[r,r)$
keine Aussage
$ K=(r,r)$
$ K=[r,r]$
$ K=(r,r]$
$ K=[r,r)$


Aufgabe 6:
Aus 4 Quadern der Größe 4m$ \times$ 1m$ \times$ 1m wird ein Stapel gebaut. Die horizontale Schwerpunktkoordinate des durch die Quader $ Q_1$ bis $ Q_i$ gebildeten Körpers wird mit $ s_i$ bezeichnet. Der abgebildete Stapel fällt aufgrund der Lage der $ s_i$ nicht um. Bestimmen Sie den größtmöglichen Überhang $ u$ , der durch horizontale Verschiebung der Quader erreicht werden kann.

\includegraphics[width=.7\linewidth]{steinstapel}


Lösung (auf ganze cm gerundet):         $ u \ = $ cm.


Um wieviel ist der maximale Überhang bei 100 Quadern größer als der Überhang bei 97 Quadern?


Lösung (vollständig gekürzter Bruch):

$ u_{100}-u_{97} \ =$
$ \underline{\hspace*{2cm}}$
cm.


   

  automatisch erstellt am 4.7.2012