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Mathematik-Online-Test:

Mint-Kolleg Mathematik, Modul 13 Komplexe Zahlen, Test 1


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V-   A2 V-   A3 V4   A4 V-   A5 V-   A6 V- 
Variantenauswahl: - - - - -

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen über Zahlen wahr bzw. falsch sind:

348753253 ist durch 11 teilbar keine Angabe wahr falsch
Es gibt eine surjektive Abbildung von $ \mathbb{N}$ nach $ \mathbb{Q}$ keine Angabe wahr falsch
$ {\mathrm{i}}\,(z+\overline{z})\in\mathbb{R}$ , für alle $ z\in\mathbb{C}$ keine Angabe wahr falsch
$ \vert z\vert=1 \ \Longleftrightarrow \ z^{-1}=\overline{z}$ , für alle $ z\in\mathbb{C}\setminus \{0\}$ keine Angabe wahr falsch
$ {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\pi}+1=0$ keine Angabe wahr falsch


Aufgabe 2:

Es seien die komplexen Zahlen $ x=3+4\,\mathrm{i}$ sowie $ y=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{i}$ und $ z=\frac{4}{5}+\frac{2}{7}\,\mathrm{i}$ gegeben.

a)
Berechnen Sie $ x\cdot\Bar{x}$, $ \frac{1}{2}\left(y-\Bar{y}\right)$, $ \frac{1}{2}\left(y+\Bar{y}\right)$. Was fällt Ihnen auf (denken Sie an Betrag, Real- und Imaginärteil)? Ist das auch allgemein gültig?

Geben Sie die Lösungen in gekürzter Form an und schreiben Sie gegebenenfalls bei Brüchen das negative Vorzeichen in den Zähler des Bruchs.

$ x\cdot\Bar{x}$ = $ +$ $ \mathrm{i}$,
$ \frac{1}{2}\left(y-\Bar{y}\right)$ = $ +$ $ \sqrt{2}$ $ \mathrm{i}$,
$ \frac{1}{2}\left(y+\Bar{y}\right)$ = $ \sqrt{2}$ $ +$ $ \mathrm{i}$.

b)
Bestimmen Sie weiter $ y^2$, $ y^3$, $ x-z$, $ x+\Bar{y}$ und $ \frac{\displaystyle
y}{\displaystyle x}$ sowie $ x\cdot\Bar{z}$.

Verfahren Sie bei der Angabe der Lösungen wie im ersten Teil der Aufgabe:

$ y^2$ =   $ +$ $ \mathrm{i}$,
$ y^3$ = $ \sqrt{2}$ $ +$ $ \sqrt{2}$ $ \mathrm{i}$,
$ x-z$ =   / + $ \big($ / $ \big)$ $ \mathrm{i}$,
$ x+\Bar{y}$ =   (+$ \sqrt{2}$) / $ +$ $ \big($($ +$ $ \sqrt{2}$) / $ \big)$ $ \mathrm{i}$,
$ \frac{\displaystyle
y}{\displaystyle x}$ = $ \sqrt{2}$ / $ +$ $ \sqrt{2}$ $ \big($ / $ \big)$ $ \mathrm{i}$,
$ x\cdot\Bar{z}$ =   / $ +$ $ \big($ / $ \big)$ $ \mathrm{i}$.


Aufgabe 3:
a)
Gegeben sind die komplexen Zahlen $ z_1=4-3\, \mathrm{i}$ und $ z_2=-1+2\, \mathrm{i}$. Berechnen Sie:

$\displaystyle a = z_1z_2\,,\quad b = z_1/z_2 \,.$

b)
Gegeben ist $ z=\sqrt{3}-\, \mathrm{i}$.Geben Sie die Polarkoordinatendarstellung $ r(\, \mathrm{cos}(\varphi)+\,
\mathrm{i}\, \mathrm{sin}(\varphi))$ mit $ 0 \leq r$ und $ 0 \leq
\varphi < 2 \pi$ für

$\displaystyle c= z\,,\quad d = z^{19}$

an.

Antwort:

a)

$ a=$ + $ \, \mathrm{i}$

$ b=$ + $ \, \mathrm{i}$

b)
$ c=$ $ (\, \mathrm{cos}($ $ /$$ \, \pi)$ $ +\, \mathrm{i}\, \mathrm{sin}($ $ /$$ \, \pi))$

$ d=$ $ (\, \mathrm{cos}($ $ /$$ \, \pi)$ $ +\, \mathrm{i}\, \mathrm{sin}($ $ /$$ \, \pi))$

(Brüche ganzzahlig gekürzt mit positivem Nenner.)


Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die reellen Parameter $ a, b, c, d, r$ und $ s$ so, dass die abgebildeten Kurven (Gerade, Kreis und Ellipse) durch die Gleichungen

        a) $ \vert z\vert=\vert z-a-{\rm {i}}\hspace*{0.05cm}b\hspace*{0.05cm}\vert$,                  b) $ \vert z\vert=s\,\vert z-{\rm {i}}\hspace*{0.05cm}d\hspace*{0.05cm}\vert$,                  c) $ \vert z\vert+\vert z-c\hspace*{0.05cm}\vert=r$

beschrieben werden.


\includegraphics[width=0.5\linewidth]{k3_bild1} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{k3_bild2}


Antwort:

a)     $ a \ = \ $         b)     $ s \ = \ $         c)      $ r \ = \ $
  $ b \ = \ $           $ d \ = \ $           $ c \ = \ $
(auf 3 Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 5:
Berechnen Sie Realteil und Imaginärteil der folgenden Zahlen:

  $ {\rm {Re}}\ z$ $ {\rm {Im}}\, z$
$ {\displaystyle{z=\overline{(1-2 {\rm {i}} )(2+{\rm {i}} )}}}$                  
$ {\displaystyle{z=\frac{5}{{\rm {i}}-2}}}$
$ {\displaystyle{z= {\rm {Im}}\,(1+2 {\rm {i}}
)-{\rm {i}}\,{\rm {Re}}\,(3-{\rm {i}} )}}$     
$ {\displaystyle{z=\sqrt{2}\,{\rm {e}}^{\,\frac{3}{2}\,\pi {\rm {i}}}}}$

(auf vier Dezimalstellen runden)


Aufgabe 6:
Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:

a) $ z^3=-27{\rm {i}}$          b) $ (z-1)^2={\rm {i}}$          c) $ z^2+z\bar{z}=2$  


Antwort: (vier Nachkommastellen; nach aufsteigendem Realteil sortiert)


a)     $ z_1=$ $ +$ i,         $ z_2=$ $ +$ i,         $ z_3=$ $ +$ i.
b)     $ z_1=$ $ +$ i,         $ z_2=$ $ +$ i.          
c)     $ z_1=$ $ +$ i,         $ z_2=$ $ +$ i.          


   

  automatisch erstellt am 6.9.2012