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Mathematik-Online-Test:

Analysis einer Veränderlichen, Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher, komplexe Zahlen, lineare Algebra, Vektorrechnung


Aufgabe 1:
Geben Sie (ohne Begründung) an, ob die folgenden Aussagen wahr bzw.falsch sind:
a)
$ ({\rm {Re}}\,z)^2\leq {\rm {Re}}\,(z^2)$,         für $ z\in\mathbb{C}$.
b)
$ (\vec{a}+\vec{b})\times (\vec{a}-\vec{b})$ ist orthogonal zu $ \vec{a}$ und $ \vec{b}$,         für $ \vec{a},\, \vec{b}\in\mathbb{R}^3$.
c)
Für $ f(x)=x^2{\rm {e}}^{-x}$ ist $ f^{(10)}(0)=90$.
d)
$ A^*B+B^*A$ ist hermitesch,     für $ A,
B\in\mathbb{C}^{n\times n}$.
e)
Jedes Polynom $ p(x,y)$ vom totalen Grad 2 besitzt mindestens ein lokales Extremum.

Lösung:

a)
keine Angabe , richtig , falsch .
b)
keine Angabe , richtig , falsch .
c)
keine Angabe , richtig , falsch .
d)
keine Angabe , richtig , falsch .
e)
keine Angabe , richtig , falsch .

Aufgabe 2:
Berechnen Sie

a) $ {\displaystyle{\lim_{x\to\pi}\, \frac{\sin
4x}{4\sin x}}}$                 b) $ {\displaystyle{\lim_{x\to 0}\,
\frac{\ln (1+x)}{1-{\rm {e}}^{2x}}}}$                 c) $ {\displaystyle{\sum_{n=2}^\infty \ \frac{1}{n^2-1}}}$ .

Antwort:

a)                 b)                 c)                


Aufgabe 3:
a)
Geben Sie die Lösungen der Gleichung

$\displaystyle z^3+(1-2\mathrm{i})z^2-(1+\mathrm{i})z=0$

sowohl in der Standardform $ z=x+\mathrm{i}y$ als auch in der Polarform $ z=re^{\mathrm{i}\varphi}$ an, mit $ r\geq0$ und $ \varphi\in[0,2\pi)$.
b)
Skizzieren Sie die Menge

$\displaystyle M = \left\{ z\in \mathbb{C} \ \big\vert \ z\bar{z}\geq 1
\quad \text{und} \quad
\left\vert z^2-\bar{z}^2 \right\vert\leq 4 \right\}
$

in der Gaußschen Zahlenebene.

Antwort:

a)
$ z_1$ = $ +\mathrm{i}$ $ =$ $ \exp\big(\mathrm{i}\pi$ $ \big)$
$ z_2$ = $ +\mathrm{i}$ $ =$ $ \exp\big(\mathrm{i}\pi$ $ \big)$
$ z_3$ = $ +\mathrm{i}$ $ =$ $ \exp\big(\mathrm{i}\pi$ $ \big)$

(Nach Betrag aufsteigend sortiert, auf drei Dezimalstellen gerundet)

b)
keine Angabe

       
\includegraphics[width=0.2\linewidth]{c3_bild4} \includegraphics[width=0.2\linewidth]{c3_bild1} \includegraphics[width=0.2\linewidth]{c3_bild3} \includegraphics[width=0.2\linewidth]{c3_bild2}

Aufgabe 4:

Bestimmen Sie für die Taylor-Reihen

a) $ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty n\,(2x)^n}}$                          b) $ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty
\sqrt{1+{\displaystyle{9^n}}}\, x^n}}$
jeweils den Konvergenzradius.

Antwort:
a)                         b)
(auf drei Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 5:
Für welche Werte des Parameters $ t\in \mathbb{R}$ besitzt das lineare Gleichungssystem

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcrcrcr}
2x_1 & & & - & x_3 & = & 1 \\
-2x_1...
...+ & 2x_3 & = & -1 \\
tx_1 & + & 2x_2 & & & = & -1
\end{array}\end{displaymath}

keine Lösung, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen? Geben Sie für den Fall der eindeutigen Lösbarkeit die Lösung in Abhängigkeit von $ t$ an.

Antwort:

keine Lösung: $ t=$
unendlich viele Lösungen: $ t=$
sonst lautet die eindeutige Lösung:
$ x_1$ = $ \big($ $ \,t\,+$ $ \big)$ $ \big/$ $ \big($ $ \,t\,+$ $ 2$ $ \big)$
$ x_2$ = $ \big($ $ \,t\,+$ $ \big)$ $ \big/$ $ \big($ $ \,t\,+$ $ 2$ $ \big)$
$ x_3$ = $ \big($ $ \,t\,+$ $ \big)$ $ \big/$ $ \big($ $ \,t\,+$ $ 2$ $ \big)$


Aufgabe 6:
Bestimmen Sie für die Funktion

$\displaystyle f(x,y)=\cos(x\cos(y)) $

das Taylor-Polynom $ p(x,y)$ vom Grad zwei zum Entwicklungspunkt $ (0,0)$. Welche geometrische Gestalt besitzt die Fläche $ z=p(x,y)$?

Antwort:

$ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ x^{2}$ $ +$ $ xy$ $ +$ $ y^2$


Ellipsoid ,         einschaliger Hyperboloid ,         parabolischer Zylinder ,        Kegel .
Aufgabe 7:
Bestimmen Sie den Punkt $ R$ auf dem Paraboloid

$\displaystyle Q:\quad x^2+y^2-2z=0\,,
$

der den kürzesten Abstand von der Ebene $ E$ durch die drei Punkte

$\displaystyle P_1=(1,1,-1)\,,\quad P_2=(3,0,0)\,,\quad P_3=(2,2,1)
$

hat. Wie groß ist dieser Abstand $ d$ ?

Antwort:
$ R=\Big(\,$ , , $ \,\Big)$                         $ d=$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)


   

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von C. Apprich, M. Boßle und J. Hörner) automatisch erstellt am 5.10.2004