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Mathematik-Online-Test:

MINT HM 1 Online Übungen, Test 7


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V39 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Gegeben seien die folgenden Vektoren $ v_1, v_2 \in \mathbb{R}^{3}$ als

$\displaystyle v_1 = \dfrac{1}{\sqrt{21}}\begin{pmatrix}-2\\ 4\\ 1\end{pmatrix}, v_2 = \dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}-3\\ -1\\ -2\end{pmatrix}.$    

(a)
Bestimmen Sie einen Vektor $ v_3$ so, dass die Vektoren $ v_1$, $ v_2$, $ v_3$ in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden.

Antwort:

$ v_3 = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$, , $ \left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}.$

(b)
Seien die Matrix $ A = (v_1,\, v_2,\, v_3)$, der Vektor $ t = (0,0,0){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}$ und die Abbildung $ \alpha$ gegeben durch

$\displaystyle \alpha\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\,v\mapsto Av + t.$    

Bestimmen Sie den Typ der Abbildung $ \alpha$.

Antwort:

Die Abbildung $ \alpha$ ist:
surjektiv
eine Translation
orthogonal
eine Drehung
linear
keine Affinität

(c)
Sei eine weitere Abbildung $ \beta$ gegeben durch

$\displaystyle \beta\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\,v\mapsto Bv + s$   mit$\displaystyle \quad B = \begin{pmatrix}-\dfrac{2}{\sqrt{21}}&\dfrac{4}{\sqrt{21...
...rt{6}}&\dfrac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix},\, \boldsymbol0 \neq s\in\mathbb{R}^3.$    

Bestimmen Sie den Typ der Abbildung $ \beta$.

Antwort:

Die Abbildung $ \beta$ ist:
eine Affinität
keine uneigentliche Isometrie
keine Isometrie
nicht injektiv
affin
eine eigentliche Isometrie

(d)
Bestimmen Sie den Translationsanteil $ s\in\mathbb{R}^3 $ so, dass die affine Abbildung

$\displaystyle \beta \circ \alpha \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\,v\mapsto BAv + s$    

eine Spiegelung an der Ebene $ y = -3$ beschreibt.

Antwort:

$ s = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$, , $ \left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}.$

   

  automatisch erstellt am 16.6.2016