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Mathematik-Online-Test:

Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher, Integration von Funktionen einer Veränderlichen, Konvergenz und Grenzwerte, lineare Algebra, Vektorrechnung


Aufgabe 1:
Geben Sie (ohne Begründung) an, ob die folgenden Aussagen wahr bzw.falsch sind:
a)
$ \vert\vec{a}+\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert+\vert\vec{b}\vert \Rightarrow
\vec{a}\cdot \vec{b} =0$, für $ \vec{a},\vec{b} \in \mathbb{R}^n$.
b)
Für zwei konvergente Folgen $ a_n \rightarrow a$, $ b_n
\rightarrow b$ gilt $ (a_n+b_n)^2 \rightarrow (a+b)^2$.
c)
Rang $ (A) <n \Rightarrow $Rang$ (A^n)=0$ für $ A\in
\mathbb{R}^{n\times n}$.
d)
Eine Matrix deren Einträge alle positiv sind, hat nur positive Eigenwerte.
e)
Verschwinden alle zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion $ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}$, so ist der Graph von $ f$ eine Ebene.

Lösung:

a)
keine Angabe , richtig , falsch .
b)
keine Angabe , richtig , falsch .
c)
keine Angabe , richtig , falsch .
d)
keine Angabe , richtig , falsch .
e)
keine Angabe , richtig , falsch .


Aufgabe 2:
Berechnen Sie
a) $ \displaystyle \int\limits_0^\pi \sqrt{\sin^2 x - \sin^4 x}\,dx$                 b) $ \displaystyle \int\,
\frac{x^3}{\sqrt{x^4+5}}\,dx$                 c) $ \displaystyle \int\limits_0^1 x\ln x \, dx$.

Antwort:

a)                  b) $ \left(x^4+5\right)^{\alpha}/$ $ +$ $ c$     mit $ \alpha =$                 c)
(auf drei Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 3:
Der Kreiskegel $ K_\theta$ , $ \theta\in[0,\pi)$ , habe die Spitze $ S=(0, 0, 1)$ , den Öffnungswinkel $ \alpha=\pi/2$ und eine zum Vektor $ (0, \cos\theta, \sin\theta\,)^{\rm {t}}$ parallele Rotationsachse. Die Schnittkurve von $ K_\theta$ mit der $ xy$ -Ebene sei $ Q_\theta$ .


Bestimmen Sie eine Gleichungsdarstellung von $ K_{\pi/6}$ und $ Q_{\pi/6}$ und geben Sie an, welche geometrischen Objekte durch $ Q_{\pi/3}$ , $ Q_{\pi/4}$ und $ Q_{\pi/5}$ beschrieben werden.

Antwort:

$ K_{\pi/6}$ : $ x^2$ $ +$ $ y^2$ $ +$ $ z^2$ $ +$ $ xy$ $ +$ $ xz$ $ +$ $ yz$  
    $ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$ $ +$ $ 1 \ = \ 0$    
$ Q_{\pi/6}$ : $ x^2$ $ +$ $ y^2$ $ +$ $ xy$ $ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ 1 \ = \ 0$  

$ Q_{\pi/3}$ :     Ellipse ,         Hyperbel ,         Parabel ,         Gerade .
$ Q_{\pi/4}$ :     Ellipse ,         Hyperbel ,         Parabel ,         Gerade .
$ Q_{\pi/5}$ :     Ellipse ,         Hyperbel ,         Parabel ,         Gerade .
(auf drei Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 4:
Der Graph von

$\displaystyle p(x)=-\frac{1}{4}\,x^2+\frac{3}{2}\,x-2 $

schließt mit der $ x$ -Achse eine Fläche $ A$ ein.
a)
Berechnen Sie den Inhalt von $ A$ sowie das Volumen $ V$ des Körpers, der durch Rotation von $ A$ um die $ x$ -Achse entsteht.
b)
Wie groß kann der Flächeninhalt $ F_{R}$ eines in $ A$ einbeschriebenen Rechtecks $ R$ maximal werden, wenn eine Seite von $ R$ auf der $ x$ -Achse liegen soll?

Antwort:

a)
$ A =$ ,     $ V =$
b)
$ F_{R}=$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 5:
Bestimmen Sie die Hauptachsen und den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q:\, x^2 +(\alpha-1)y^2 +(\alpha-1)z^2
-2(\alpha+1)yz +1 =0
$

in Abhängigkeit von dem Parameter $ \alpha \in
\mathbb{R}$ .

Antwort:

Geben Sie die Hauptachsen mit kleinstmöglichen nicht negativen ganzen Zahlen in den ersten beiden Komponenten und aufsteigend sortiert nach den Einträgen in der dritten Komponente an.
$ v_1$ = $ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$ ,        $ v_2$ = $ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$ ,        $ v_3$ = $ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$



Für $ \alpha_0=$ ergibt sich folgender Typ:

$ \alpha < \alpha_0$ : Ellipsoid         einschaliges Hyperboloid
  hyperbolischer Zylinder         zweischaliges Hyperboloid
$ \alpha = \alpha_0$ : Ellipsoid         einschaliges Hyperboloid
  hyperbolischer Zylinder         zweischaliges Hyperboloid
$ \alpha > \alpha_0$ : Ellipsoid         einschaliges Hyperboloid
  hyperbolischer Zylinder         zweischaliges Hyperboloid


Aufgabe 6:
Berechnen Sie für die Transformation auf Zylinderkoordinaten,

$\displaystyle \varphi: \ \left(\begin{array}{c}r\\ \theta \\ z\end{array}\right...
... \\ z\end{array}\right), \qquad
r>0,\, \theta\in [0,2\pi),\, z\in\mathbb{R}\,, $


a)
die Jacobi-Matrix $ {\rm {J}}\,\varphi (r,\theta,z)$,
b)
die partiellen Ableitungen der Funktion $ g(r,\theta,z)=f(x,y,z)=xyz$ nach $ r, \theta$ und $ z$,
c)
die Jacobi-Matrix $ {\rm {J}}\,\varphi^{-1} (x,y,z)$ der Umkehrtransformation,
jeweils bei $ (r, \theta, z)=(1, \pi/4, 1)$.

Antwort:
a)
$ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

b)
$ g_r\ =$ ,          $ g_\theta\ =$ ,         $ g_z\ =$

c)
$ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 7:
Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der Funktion

$\displaystyle f(x,y)= 1-\sin x-\sin y -\sin^2 y
$

im Bereich $ -\pi/2 \leq x \leq \pi/2\,,\,-\pi/2 \leq y \leq \pi/2$, sowie deren Typ.

Antwort:

$ \Big($, $ \Big)$: Hochpunkt         Tiefpunkt         Sattelpunkt
$ \Big($, $ \pm$$ \Big)$: Hochpunkt         Tiefpunkt         Sattelpunkt
$ \Big($, $ \Big)$: Hochpunkt         Tiefpunkt         Sattelpunkt
$ \Big($, $ \pm$$ \Big)$: Hochpunkt         Tiefpunkt         Sattelpunkt


(aufsteigend sortiert nach $ x$-Koordinate; auf drei Dezimalstellen gerundet)


   

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von C. Apprich, M. Boßle und J. Hörner) automatisch erstellt am 5.10.2004