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Mathematik-Online-Test:

Differentialgleichungen, Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen, komplexe Zahlen, lineare Algebra


Aufgabe 1:
Sei $ S: Ax=b$ ein lineares Gleichungssystem mit Matrix $ A\in\mathbb{C}^{\mathit{n\times n}}$ und rechter Seite $ b\in\mathbb{C}^{\mathit n}$ . Sei außerdem $ \varphi: \mathbb{C}^{\mathit n}\rightarrow
\mathbb{C}^{\mathit n}$ die durch $ x\mapsto Ax$ gegebene lineare Abbildung. Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
$ \det(A) \ne 0 \ \leftrightarrow \ S$ besitzt eine eindeutige Lösung
b)
$ {\mathrm{rg}}(A) < n \ \leftrightarrow \ S$ ist unlösbar
c)
$ b\in {\mathrm{im}}(\varphi) \ \leftrightarrow \ S$ ist lösbar
d)
$ {\mathrm{ker}}(\varphi)=\{0\} \ \rightarrow \ \varphi$ ist bijektiv
e)
$ A^{{\operatorname t}}A$ ist symmetrisch
f)
$ \overline{A}^{{\operatorname t}}=\overline{A^{{\operatorname t}}}$

Antwort:

a) wahr        falsch         b) wahr        falsch         c) wahr        falsch

d) wahr        falsch         e) wahr        falsch         f) wahr        falsch


Aufgabe 2:
Berechnen Sie die Jordan-Normalform $ J$ der Matrix

\begin{displaymath}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
-1& 2& -1\\
-8&-10& 8\\
-15&-14& 13\\
\end{array}\right)\,.
\end{displaymath}

Geben Sie dabei die Diagonaleinträge aufsteigend sortiert ein.

$ J= \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
0
0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$


Aufgabe 3:
Sei $ \alpha: \mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}^4$ die durch

$\displaystyle (4, 9, 0, 8)^{\operatorname t}$ $\displaystyle \longmapsto (2, 5, -5, 1)^{\operatorname t}$    
$\displaystyle (-2, 7, 3, 4)^{\operatorname t}$ $\displaystyle \longmapsto (-7, -8,-6, 7)^{\operatorname t}$    
$\displaystyle (-4, 2, -7, 1)^{\operatorname t}$ $\displaystyle \longmapsto (-4, -5, -3, -7)^{\operatorname t}$    
$\displaystyle (9, -2, -2, 2)^{\operatorname t}$ $\displaystyle \longmapsto (-4, -8, 9, 1)^{\operatorname t}$    

gegebene lineare Abbildung.

Geben Sie die Matrixdarstellung $ A$ von $ \alpha$ bzgl. der kanonischen Basis $ e_1, e_2, e_3, e_4$ an.

$ A= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Geben Sie die Matrixdarstellung $ B$ von $ \alpha$ bzgl. der Basis

$\displaystyle b_1$ $\displaystyle =(-1, 0, 0, 0)^{\operatorname t}$    
$\displaystyle b_2$ $\displaystyle =(1, -1, 0, 0)^{\operatorname t}$    
$\displaystyle b_3$ $\displaystyle =(0, 1, -1, 0)^{\operatorname t}$    
$\displaystyle b_4$ $\displaystyle =(0, 0, 1, -1)^{\operatorname t}$    

an.

$ B= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$


Aufgabe 4:
Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 48x_1^2-33x_2^2-15x_3^2-120x_1x_2+48x_1x_3+48x_2x_3+434x_1-1504x_2+718x_3 =
1341
$

a)
die Matrixform $ x^{\operatorname t}Ax+2a^{\operatorname t}x+c=0$
b)
die Normalform
c)
den Typ.

Antwort:

a)
$ A= \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$,
$ a= \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$,
$ c=$


b)
$ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$              $ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$              $ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$
$ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$              $ \displaystyle-\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$              $ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+2x_3=0$

$ 1/a_1=$         $ 1/a_2=$     (positive Werte angeben)

c)
kegelige Quadrik          Mittelpunktsquadrik          parabolische Quadrik

Aufgabe 5:
Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem

$\displaystyle y'=Ay
$

mit

\begin{displaymath}y=\left(
\begin{array}{c}
y_1\\
y_2\\
y_3
\end{array}\right...
...-13 &8 &12\\
8 &-21 &4\\
12 &4 &-11\\
\end{array}\right)\,.
\end{displaymath}

Bestimmen Sie die Eigenwerte $ z_1$ -$ z_3$ von A und geben Sie diese mit aufsteigenden Beträgen und danach mit aufsteigenden Argumenten ( $ \in [0,2\pi)$ ) sortiert ein.

$ z_1=$ $ +$ i $ z_2=$ $ +$ i $ z_3=$ $ +$ i

Bestimmen Sie zu jedem der Eigenwerte $ z_i$ je einen Eigenvektor $ v_i$ .

$ v_1 = \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ +$ i
$ +$ i
$ 2+0$ i
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

$ v_2 = \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ +$ i
$ 2+0$ i
$ +$ i
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

$ v_3 = \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ 2+0$ i
$ +$ i
$ +$ i
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

Geben Sie an, welcher Ansatz zur reellen Lösung des Differentialgleichungssystems für das Fundamentalsystem gewählt werden muß.

keine Angabe  
Ansatz 1 $ w_1(x)=e^{z_1x}v_1$ ;
  $ w_2(x)=e^{\operatorname{Re}(z_2)x}
(\operatorname{Re}(v_2)
\cos(\operatorname{Im}(z_2)x) -
\operatorname{Im}(v_2)
\sin(\operatorname{Im}(z_2)x)$ ;
  $ w_3(x)=e^{\operatorname{Re}(z_3)x}
(\operatorname{Im}(v_3)
\cos(\operatorname{Im}(z_3)x) +
\operatorname{Re}(v_3)
\sin(\operatorname{Im}(z_3)x)$ ;
Ansatz 2 $ w_1(x)=e^{z_1x}v_1$ ;
  $ w_2(x)=e^{z_2x}v_2$ ;
  $ w_3(x)=e^{z_3x}v_3$
Ansatz 3 $ w_1(x)=e^{z_1x}v_1$ ;
  $ w_2(x)=e^{z_2x}(xv_1+v_2)$ ;
  $ w_3(x)=e^{z_3x}v_3$

Bestimmen Sie die Konstanten $ c_1$ -$ c_3$ so, daß

$\displaystyle w=c_1w_1+c_2w_2+c_3w_3 $

das Anfangswertproblem

\begin{displaymath}w(0)=\left(
\begin{array}{r}
3\\
-6\\
0\\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

löst.

$ c_1=$ $ c_2=$ $ c_3=$


Aufgabe 6:
Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils das Taylor-Polynom vom Grad $ 3$ zum angegebenen Entwicklungspunkt $ x_0$:
a) $ f(x)=\ln(1+\sinh(x))\,,\quad x_0=0$                 b) $ f(x)=\sqrt{2(1-x)}\,,\quad x_0=-1$


c) $ f(x)=x^3+x^2+x+1\,,\quad x_0=1$.
Antwort:

a)      $ +$ $ x$ $ +$ $ x^{2} \,+$ $ x^{3}$

b)      $ \displaystyle\frac{1}{64}\Big($ $ +$ $ (x+1)$ $ +$ $ (x+1)^{2} \,+$ $ (x+1)^{3}\Big)$

c)      $ +$ $ (x-1)$ $ +$ $ (x-1)^{2} \,+$ $ (x-1)^{3}$


Aufgabe 7:
Welches der grauen Gebiete in der komplexen Zahlenebene wird durch die Menge

$\displaystyle M=\left\{z\in\mathbb{C}: \operatorname{Im}(z)\operatorname{Re}(z)<1\right\}
$

beschrieben?

 keine Angabe Gebiet 1 Gebiet 2
   \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung1.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung2.eps}
   Gebiet 3 Gebiet 4
   \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung3.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung4.eps}


   

(Konzipiert von W. Kimmerle unter Mitwirkung von A. App und J. Hörner) automatisch erstellt am 5.10.2004