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Mathematik-Online-Test:

Komplexe Zahlen, lineare Algebra, Vektorrechnung


Aufgabe 1:
Berechnen Sie die Determinante und die Inverse der Matrix $ A=\left(
\begin{array}{rrr}
1&2&1\\ 0&1&0\\ 1&3&-1
\end{array}\right)$:

$ \det(A)=$
$ A^{-1}=\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{2}}$ $ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$.


Aufgabe 2:
Die Vektoren $ \vec{a}=\left( \begin{array}{r}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) $, $ \vec{b}=\left( \begin{array}{r}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) $, $ \vec{c}=\left( \begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) $ bilden ein Orthogonalsystem.

Stellen Sie den Vektor $ \vec{d}=\left( \begin{array}{r}1 \\ 1
\\ 0\end{array}\right) $ als Linearkombination von $ \vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}\;$ dar:

$ \vec{d}=\dfrac{z_1}{n_1}\vec{a}+ \dfrac{z_2}{n_2}\vec{b} +
\dfrac{z_3}{n_3}\vec{c}\;$         mit
$ z_1=$ $ z_2=$ $ z_3=$
$ n_1=$ $ n_2=$ $ n_3=$

Geben Sie die Koeffizienten als ganzzahlige Brüche in gekürzter Form mit positivem Nenner an.


Aufgabe 3:
Berechnen Sie den Abstand des Punktes $ (1,3,-2)$ zur Geraden

$\displaystyle g:\quad \vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix}4\\ 1\\ -1\end{pmatrix}.$    

Antwort:


Aufgabe 4:

Die Matrix $ \left( \begin{array}{rrr}
0&1&-1 \\ 1&2&-1 \\ 2&5&-3 \\ -1&-3&2
\end{array}\right) $ besitzt den Rang .


Aufgabe 5:
Für welche Werte des reellen Parameters $ t$ hat das lineare Gleichundssystem

$\displaystyle \begin{array}{rcrl} x_1& +& t x_2&=1 \\ t x_1& + &x_2&=1 \end{array}$


keine, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen?

Antwort:

keine Lösung:                 genau eine Lösung:                 unendlich viele Lösungen:
$ t=t_1=$                 $ t=t_2=$                  $ t\neq t_1,t_2$
                  mit                 mit
                  
  $ x_1=$ $ 2$ $ +$ $ r$
  $ x_2=$ $ +$ $ r$
                
  $ x_1=$ ($ 1+t)^{-1}$
  $ x_2=$ ($ 1+t)^{-1}$


Aufgabe 6:
Berechnen Sie das folgende Matrizenprodukt:
$ \left(\begin{array}{rrr}1&0&2\\ -2&-1&0\end{array}\right)
\left(\begin{array}...
...end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}0&2\\ 1&4\\ -1&-1\end{array}\right) =$ $ \left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$.

Aufgabe 7:
Gegeben sei die komplexe Zahl $ z=\dfrac{3-2\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}-\dfrac{3\mathrm{i}+1}{-7-\mathrm{i}}$. Geben Sie die Normaldarstellung und die trigonometrische Darstellung von $ z$ an:

$\displaystyle z=a+\mathrm{i}b=r(\cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi)$    

mit $ a=$ $ \in \mathbb{R}$, $ b=$ $ \in \mathbb{R}$, $ r=$ $ \cdot\sqrt{2}\; \in \mathbb{R}^+$ und $ \varphi=$ $ \cdot \frac{\pi}{4}\;\in (-\pi,\pi]$.
Aufgabe 8:
Für welche reellen Werte $ t_1\leq t_2$ sind die Vektoren

$\displaystyle \left( \begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right), \left( \be...
...\\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{r} 0\\ t\\ 2 \end{array} \right)$    

linear abhängig?

$ t_1=$ $ \;$ und $ t_2=$


Aufgabe 9:
Sei $ p$ ein reelles normiertes Polynom $ 4$-ten Grades mit den komplexen Nullstellen $ 1-\mathrm{i}$ und $ 2+3\mathrm{i}$. Bestimmen Sie die Koeffizienten von $ p$:

$ p(z)=$$ z^4 -$$ z^3 +$$ z^2
-$$ z +$.


Aufgabe 10:
Seien $ \vec{a},\vec{b},\vec{c} \in \mathbb{R}^3$ und sei $ f$ jeweils eine lineare Abbildung. Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:

$ \vec{a},\vec{b}$ linear abhängig $ \Longleftrightarrow \vec{a}\times
\vec{b}=\vec{0}$ keine Angabe wahr falsch
$ (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$ keine Angabe wahr falsch
$ \vec{a}\times \vec{b}$ und $ \vec{b}\times \vec{a}$ sind immer linear abhängig keine Angabe wahr falsch
$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\ $linear unabhängig $ \Longrightarrow \vec{a},\vec{c}\ $linear unabhängig keine Angabe wahr falsch
$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\ $linear abhängig $ \Longrightarrow \vec{a},\vec{c}\ $linear abhängig keine Angabe wahr falsch
$ f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ surjektiv und linear $ \Longrightarrow$ $ f$ bijektiv keine Angabe wahr falsch
$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3$ linear $ \Longrightarrow$ $ f$ injektiv keine Angabe wahr falsch
$ f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ linear $ \Longrightarrow$ $ f$ nicht injektiv keine Angabe wahr falsch


   

(Konzipiert von W. Strauß unter Mitwirkung von F. Stoll) automatisch erstellt am 6.12.2004