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Mathematik-Online-Test:

Differentialgleichungen, komplexe Zahlen, Normalformen, Vektoranalysis


Aufgabe 1:
Gegeben sei die Differentialgleichung $ y'''-3y'+2y=0$.

a)
Stellen Sie das charakteristische Polynom der obigen Gleichung auf und berechnen Sie dessen Nullstellen.

$ p(\lambda) = $ $ \lambda^3\ +\ $ $ \lambda^2\ +\ $ $ \lambda\ +\ $

$ \lambda_1 = $     $ \ge$     $ \lambda_2 = $     $ \ge$     $ \lambda_3 = $

b)
Geben Sie eine Basis $ B=\{y_1,y_2,y_3\}$ des Lösungsraumes (also ein Fundamentalsystem) an.

$ y_1(x)=$ keine Angabe $ \sin x$ $ \cos x$ $ e^x$ $ e^{-x}$
$ y_2(x)=$ keine Angabe $ xe^x$ $ xe^{-x}$ $ x^2e^x$ $ x^2e^{-x}$
$ y_3(x)=$ keine Angabe $ xe^{2x}$ $ xe^{-2x}$ $ e^{2x}$ $ e^{-2x}$

c)
Bestimmen Sie die spezielle Lösung $ y$ mit $ y(0)=1$, welche die Differentialgleichung $ y'+2y=0$ erfüllt.

$ y(x)\ =\ $
    $ x$
$ x$   $ e$  


Aufgabe 2:
Skizzieren Sie die Menge

$\displaystyle M=\left\{z\in\mathbb{C} \mid z\bar{z}-z-\bar{z} \le 3 \
\text{ und } \ z=r\cdot e^{\varphi i}+1,\ r\ge1,\ \varphi\in[0,2\pi)\right\} $

in der Gaußschen Zahlenebene.

 keine Angabe Gebiet 1 Gebiet 2
   \includegraphics[width=0.6\linewidth]{bild1} \includegraphics[width=0.6\linewidth]{bild2}
   Gebiet 3 Gebiet 4
   \includegraphics[width=0.6\linewidth]{bild3} \includegraphics[width=0.6\linewidth]{bild4}


Aufgabe 3:
Bestimmen Sie für die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}
1&0&4\\ 0&3&0\\ 2&0&-1
\end{array}\right)
$

die Eigenwerte

$ \lambda_1=$     $ \ge$     $ \lambda_2=$     $ \ge$     $ \lambda_3=$

sowie eine Basis aus Eigenvektoren ($ b_i$ ist Eigenvektor zum Eigenwert $ \lambda_i$)

$ b_1=\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ 2$
0
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right),\qquad b_2=\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
0
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right),\qquad b_3=\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung $ Y=(y_1,y_2,y_3)^t$ des Differentialgleichungssystems $ Y'=AY$.

keine Angabe
$ c_1b_1e^{\lambda_1x}+c_2b_2e^{\lambda_2x}+c_3b_3e^{\lambda_3x}$
$ c_1b_1e^{\lambda_1x}+c_2b_2xe^{\lambda_2x}+c_3b_3e^{\lambda_3x}$
$ c_1b_1e^{\lambda_1x}+c_2b_2xe^{\lambda_2x}+c_3b_3x^2e^{\lambda_3x}$
$ c_1b_1e^{\lambda_1x}+c_2b_2e^{\lambda_2x}+c_3b_3xe^{\lambda_3x}$

Aufgabe 4:
Gegeben sei die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}
-3 & 0 & 1 & 1 \\
-1 & -2 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & -1
\end{array}\right),
$

die als einzigen Eigenwert $ \lambda=-2$ besitzt.
a)
Berechnen Sie
$ A+2E=\left(\rule{0ex}{7ex}\right.$
$ \left.\rule{0ex}{7ex}\right),\qquad(A+2E)^2=\left(\rule{0ex}{7ex}\right.$
$ \left.\rule{0ex}{7ex}\right)$
sowie
$ \operatorname{Rg}(A+2E) =$                  $ \operatorname{Rg}(A+2E)^2=$

b)
Die Jordan-Normalform von $ A$ lautet
$ J=\left(\rule{0ex}{7ex}\right.$
$ \left.\rule{0ex}{7ex}\right)$


Aufgabe 5:

Im $ \mathbb{R}^3$ sei der Körper $ M$, der durch den Graph $ S$ der Funktion $ f(x,y) =4-x^2-2x-y^2$ und der Ebene $ E$ mit der Gleichung $ z=2$ eingeschlossen wird, gegeben.

Das Vektorfeld $ g: \mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3$ sei definiert durch

$\displaystyle g: \quad
\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\mapsto
\begin{pmatrix}x-y-z-1 \\ y-x \\ -x-1 \end{pmatrix}.$

a)
Skizzieren Sie den Schnitt von $ M$ mit der $ (x,z)$-Ebene.

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild_1} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild_2}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild_3} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild_4}

b)
Wie lauten die nach außen weisenden Normaleneinheitsvektoren $ N_1$ bzw. $ N_2$ von $ \partial M$ in $ (0,0,4)$ bzw. $ (-1,1,2)$?

$ N_1=1\Big/\sqrt{\vphantom{\frac12}}$ $ \Big($,,$ \Big)^t$         $ N_2=\Big($,,$ \Big)^t$

c)
$ \operatorname{div}g = $.

d)
Verwenden Sie der Geometrie des Körpers angepasste Zylinderkoordinaten und ergänzen Sie das Dreifach-Integral so, dass es das Volumen von $ M$ beschreibt:

$ \pi$
$ \displaystyle\int$
$ \sqrt{\vphantom{\frac12}}$
$ \displaystyle\int$
+$ r^2$
$ \displaystyle\int$
$ r\ $d$ z\,$d$ r\,$d$ \varphi$

e)
Das Volumen von $ M$ ist $ \pi\Big/$.

f)
$ \iint\limits_{\partial M} g \cdot n\, \mathrm{d}O =$ $ \pi$.

(Hierbei sei $ n$ der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor.)


Aufgabe 6:
Gegeben seien die Kurven $ C_1,\,C_2$ mit der Darstellung

\begin{displaymath}\begin{array}{rlll}
& C_1(t)=(\cos t, t^2 - \pi t, \sin t)^t...
...wie} & C_2(t) = (t,2,1)^t & \text{mit} & t\in[0,1]
\end{array}\end{displaymath}

und das Vektorfeld $ g$ mit $ g(x,y,z)=(y^2z^3,\alpha xyz^3,3xy^2z^2 + \alpha )^t$ mit dem reellen Parameter $ \alpha$.

Berechnen Sie $ \operatorname{rot} g$:

$ \operatorname{rot} g=$ $ \Big($$ xyz^2+$ $ \alpha
xyz^2$ , , $ yz^3+$ $ \alpha yz^3\Big)^t$

Berechnen Sie $ C_1'(t)$ und $ C_2'(t)$:


$ C_1'(t)=$ $ \Big($$ \sin t$ , $ t-\pi$ , $ \cos t\Big)^t$          $ C_2'(t)=$ $ \Big($ , , $ \Big)^t$

Berechnen Sie das Integral $ I$ = $ \int\limits_{C_2} g\, \mathrm{d}x$.

$ I= $.

Berechnen Sie den Wert des Parameters $ \alpha$, für welchen das Vektorfeld $ g$ ein Potential besitzt:

$ \alpha =$ .

Bestimmen Sie eine zu diesem $ \alpha$ gehörende Potentialfunktion $ u$:

$ u=$ $ xy^2z^3+$ $ y+$ $ z$

und berechnen Sie für dieses $ \alpha$ den Wert des Integrals $ I$ = $ \int\limits_{C_1} g\, \mathrm{d}x$:

$ I= $.


   

(Konzipiert von W. Kimmerle unter Mitwirkung von M. Knödler) automatisch erstellt am 5.10.2004