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Mathematik-Online-Test:

Differentialgleichungen, Kurven- und Flächenintegrale, Vektoranalysis


Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
a)
$ u''-9u=7$ in expliziter Form:
$ u(t)=a\exp\Big($ $ \;t\Big)+b\exp\Big($ $ \;t\Big)+{ }
$ , $ \quad a,b\in\mathbb{R}\; .$
Die Koeffizienten in den Exponenten sind aufsteigend zu sortieren und die Eingaben ggf. auf vier Nachkommastellen zu runden.
b)
$ y^{2}y'=x^{3}$ in impliziter Form:

$\displaystyle \frac{y^\alpha}{3}+\frac{x^\beta}{\gamma}=c\; ,\qquad c\in\mathbb{R}\; ,
$

mit $ \alpha={}$ , $ \beta={}$ , $ \gamma={}$ .


Aufgabe 2:
Die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} -6 & 1 & 4 \\ -5 & 2 & 2 \\ -10 & 2 & 7
\end{array}\right) $

besitzt den Eigenwert $ \lambda_1=2+{\rm {i}}$ mit Eigenvektor $ v_1=(1,
{\rm {i}}\,, 2)^{\rm {t}}$.

Bestimmen Sie die übrigen Eigenwerte von $ A$, und geben Sie sowohl die allgemeine komplexe, als auch die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystems $ u'=Au$ an.

Antwort:

$ \lambda_2=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,                  $ \lambda_3=$ $ +$ $ {\rm {i}}$          (aufsteigend nach Realteil sortiert) ,

$ u(t)=c_1\,{e}^{\lambda_1 t}\left(\begin{array}{c} 1 \\ {\rm {i}} \\
2\end{array}\right)+c_2\,{e}^{\lambda_2
t}\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)+c_3\,{e}^{\lambda_3 t}\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$,     $ c_1, c_2,
c_3\in\mathbb{R}$.


Aufgabe 3:
Geben Sie für $ u(t) = \sin t$ die Nummer der zugehörigen Laplace-Transformierten von
a)     $ u'\star u \stackrel{L}{\longrightarrow}{}$ ,          b)     $ e^{\mathrm{i}\omega t} u \stackrel{L}{\longrightarrow}{}$ ,          c)     $ tu \stackrel{L}{\longrightarrow}{}$
an, wobei

\begin{displaymath}
\begin{array}{cccccccccccc}
\bf {1)} & \displaystyle{\frac{...
...isplaystyle{\frac{1}{(s-\mathrm{i}\omega)^2+1}}\; .
\end{array}\end{displaymath}


Aufgabe 4:
Berechnen Sie für das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}=\left(\begin{array}{c} xz^2 \\ 0 \\
y^3\end{array}\right) $

jeweils an der Stelle $ (x,y,z)=(1,2,3)$ die Werte der folgenden Ausdrücke.

$\displaystyle {\bf a)}\quad \operatorname{div}\vec{F}\qquad\qquad
{\bf b)}\quad \operatorname{rot}\vec{F}\qquad\qquad
{\bf c)}\quad \Delta\,\vert\vec{F}\vert^2
$






Lösung:
a)
b)
$ \Big($ , , $ \Big)^{\operatorname t}$
c)

Aufgabe 5:
Berechnen Sie für $ U(x,y)=\ln(1+r^2)$, $ r^2=x^2+y^2$, und die Kreisscheibe $ D: \ x^2+y^2 \leq 1$
(alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet):
$ \operatorname{grad}U$$ =$
$ \ +$ $ r\ +$ $ r^2$
$ \underline{\hspace*{5cm}}$
$ 1\ +$ $ r\ +$ $ r^2$
$ \vec{e}_r$ ,                   $ {\displaystyle{\iint\limits_D \Delta U}}$$ =$ .

Hinweis:     Verwenden Sie einen der Green'schen bzw.Gauß'schen Integralsätze.


Aufgabe 6:
Berechnen Sie für den Kegel

$\displaystyle K: \; x^2+y^2\leq z^2, \quad 0\leq z\leq 1,
$

mit Mantelfläche $ S$ und Randkurve

$\displaystyle C: \; \varphi \mapsto \left(\begin{array}{c}\cos \varphi\\ \sin \varphi \\
1\end{array}\right), \quad \varphi \in [0,2\pi), $

und für das Vektorfeld $ \vec{F}=(y, y, 0)^{\rm {t}}$
$ \displaystyle{\left\vert\,\iint\limits_{S}\vec{F}\cdot
d\vec{S}\;\right\vert=\pi/}$         und          $ \displaystyle{\left\vert\,\iint\limits_{S} (\operatorname{rot}\vec{F})\cdot
d\vec{S}\;\right\vert=\pi/}$.

Aufgabe 7:
Berechnen Sie für die durch

$\displaystyle (\varphi, z)\longrightarrow \vec{r}\,(\varphi, z)=\left(\begin{ar...
...varphi \\ z\end{array}\right), \quad \varphi\in [0, 2\pi), \quad
z\in [0, 1/2] $

parametrisierte Fläche $ S$
a)
die Tangentialvektoren,
b)
das Flächenelement $ dS=g\left( \varphi,z\right)d\varphi dz\,, $
c)
den Flächeninhalt.

Antwort:

a)
$ \partial_\varphi \vec{r}=$ $ \left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ z$ $ \varphi$
$ z$ $ \varphi$
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$          $ \partial_z \vec{r}=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ z$ $ \varphi$
$ z$ $ \varphi$
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$
(Tragen Sie jeweils $ \cosh,\; -\cosh,\; \sinh,\; -\sinh,\; \sin,\; \cos$ oder Zahlenwerte ein)
b)
$ g(\varphi, z):$     1 ,      $ \cos\varphi$ ,     $ \sinh z$ ,     $ \sin^2 z$ ,     $ \cosh^2 z$ ,      $ \sinh z \sin\varphi$ .
c)
(auf vier Dezimalstellen gerundet)


   

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von C. Apprich, J. Hörner und J. Wipper) automatisch erstellt am 5.10.2004