Mathematik-Online-Test: Differentialgleichungen, Kurven- und Flächenintegrale, Vektoranalysis

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	Mathematik-Online-Test:
	Differentialgleichungen, Kurven- und Flächenintegrale, Vektoranalysis

Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

a)

in expliziter Form:

$u(t)=a\exp\Big($ $\;t\Big)+b\exp\Big($ $\;t\Big)+{ }$ , $\quad a,b\in\mathbb{R}\; .$

Die Koeffizienten in den Exponenten sind aufsteigend zu sortieren und die Eingaben ggf. auf vier Nachkommastellen zu runden.

b)

$y^{2}y'=x^{3}$ in impliziter Form:

$\displaystyle \frac{y^\alpha}{3}+\frac{x^\beta}{\gamma}=c\; ,\qquad c\in\mathbb{R}\; ,$

mit $\alpha={}$ , $\beta={}$ , $\gamma={}$ .

Aufgabe 2:
Die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} -6 & 1 & 4 \\ -5 & 2 & 2 \\ -10 & 2 & 7 \end{array}\right)$

besitzt den Eigenwert $\lambda_1=2+{\rm {i}}$ mit Eigenvektor $v_1=(1, {\rm {i}}\,, 2)^{\rm {t}}$ . Bestimmen Sie die übrigen Eigenwerte von

, und geben Sie sowohl die allgemeine komplexe, als auch die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystems

an.

Antwort:
Eigenwerte:
$\lambda_2=$ ${\rm {i}}$ , $\lambda_3=$ ${\rm {i}}$
(aufsteigend nach Realteil sortiert)

$u(t)=c_1\,$ e $^{\lambda_1 t}\left(\begin{array}{c} 1 \\ {\rm {i}} \\ 2\end{array}\right)+c_2\,$ e $^{\lambda_2 t}\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$

${\rm {i}}$

${\rm {i}}$

${\rm {i}}$

$\left.\rule{0pt}{7ex}\right)+c_3\,$ e $^{\lambda_3 t}\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$

${\rm {i}}$

${\rm {i}}$

${\rm {i}}$

$\left.\rule{0pt}{7ex}\right)$

mit $c_1, c_2, c_3\in\mathbb{R}$

Aufgabe 3:
Geben Sie für $u(t) = \sin t$ die Nummer der zugehörigen Laplace-Transformierten von

a) $u'\star u \stackrel{L}{\longrightarrow}{}$ , b) $e^{\mathrm{i}\omega t} u \stackrel{L}{\longrightarrow}{}$ , c) $tu \stackrel{L}{\longrightarrow}{}$

an, wobei

$\begin{displaymath} \begin{array}{cccccccccccc} \bf {1)} & \displaystyle{\frac{... ...isplaystyle{\frac{1}{(s-\mathrm{i}\omega)^2+1}}\; . \end{array}\end{displaymath}$

Aufgabe 4:
Berechnen Sie für das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}=\left(\begin{array}{c} xz^2 \\ 0 \\ y^3\end{array}\right)$

$\operatorname{div}\vec{F}$ , $\operatorname{rot}\vec{F}$ und $\Delta\,\vert\vec{F}\vert^2$ jeweils an der Stelle

Antwort:
$\operatorname{div}\vec{F}$ , $\operatorname{rot}\vec{F}$ $\Big($ ,, $\Big)^$ t, $\Delta\,\vert\vec{F}\vert^2$

Aufgabe 5:
Berechnen Sie für $U(x,y)=\ln(1+r^2)$ ,

, und die Kreisscheibe $D: \ x^2+y^2 \leq 1$
(alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet):

$\operatorname{grad}U$

$\ +$ $r\ +$

$\underline{\hspace*{5cm}}$

$1\ +$ $r\ +$

$\vec{e}_r$ , ${\displaystyle{\iint\limits_D \Delta U}}$

Hinweis: Verwenden Sie einen der Green'schen bzw.Gauß'schen Integralsätze.

Aufgabe 6:
Berechnen Sie für den Kegel

$\displaystyle K: \; x^2+y^2\leq z^2, \quad 0\leq z\leq 1,$

mit Mantelfläche

und Randkurve

$\displaystyle C: \; \varphi \mapsto \left(\begin{array}{c}\cos \varphi\\ \sin \varphi \\ 1\end{array}\right), \quad \varphi \in [0,2\pi),$

und für das Vektorfeld $\vec{F}=(y, y, 0)^{\rm {t}}$

a) $\displaystyle{\left\vert\,\iint\limits_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}\;\right\vert}$ b) $\displaystyle{\left\vert\,\iint\limits_{S} (\operatorname{rot}\vec{F})\cdot d\vec{S}\;\right\vert}$

Antwort:
a) b)

Aufgabe 7:
Berechnen Sie für die durch

$\displaystyle (\varphi, z)\longrightarrow \vec{r}\,(\varphi, z)=\left(\begin{ar... ...arphi \\ z\end{array}\right), \quad \varphi\in [0, 2\pi), \quad z\in [0, 1/2]$