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Mathematik-Online-Test:

Differentialrechnung, Integralrechnung, Test 6


Aufgabe 1:
Bestimmen Sie für jede der folgenden Potenzreihen ihren Konvergenzradius $ r ,$ die Menge $ A$ aller $ x \in \mathbb{R}$, für die die Reihe absolut konvergiert, und die Menge $ K$ aller $ x \in \mathbb{R}$, für die die Reihe konvergiert:

$ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{(-3)^n}{n + \sqrt{n}} \,x^n}}\,,
\quad\,$ $ r=1\Big/$
keine Aussage
$ A=(r,r)$
$ A=[r,r]$
$ A=(r,r]$
$ A=[r,r)$
keine Aussage
$ K=(r,r)$
$ K=[r,r]$
$ K=(r,r]$
$ K=[r,r)$
   
$ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,(-1)^n \left ( \frac{2}{3} \right )^n
\,x^n}}\,, \quad\,$ $ r=$$ \Big/2$
keine Aussage
$ A=(r,r)$
$ A=[r,r]$
$ A=(r,r]$
$ A=[r,r)$
keine Aussage
$ K=(r,r)$
$ K=[r,r]$
$ K=(r,r]$
$ K=[r,r)$
   
$ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2 \cdot 4^n} \,x^n}}\,, \quad\,$ $ r=$
keine Aussage
$ A=(r,r)$
$ A=[r,r]$
$ A=(r,r]$
$ A=[r,r)$
keine Aussage
$ K=(r,r)$
$ K=[r,r]$
$ K=(r,r]$
$ K=[r,r)$


Aufgabe 2:
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+11x-36}{(x+7)(x-1)^2}\,.$

Geben Sie den geeigneten Ansatz für die reelle Partialbruchzerlegung von $ f$ an und berechnen Sie die Koeffizienten $ a$ , $ b$ und $ c$ .

keine Angabe    
$ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x-7}+\frac{bx+c}{(x-1)^2}}}$ $ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x+7}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x-1}}}$
$ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x+7}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}}}$ $ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x-7}+\frac{bx+c}{x^2+1}}}$

$ a=$ $ b=$ $ c=$


Aufgabe 3:
Berechnen Sie

a) $ \displaystyle\int\limits_0^\pi x \sin (2x)\, dx$                          b) $ \displaystyle\int\limits_1^{\rm {e}} \ln x \,\frac{dx}{x}$                          c) $ \displaystyle\int \frac{2x+3}{x^2+4} \,dx$ .

Antwort:

a)    $ \,\pi/$                 b)     $ /$

c) $ \ln
\Big\vert$ $ x^2$ $ +$ $ x$ $ +$ $ \Big\vert$ $ +$ $ /$ $ \,
\arctan\Big($ $ x\,/$ $ \Big) + c$

(möglichst kleine, positive ganze Zahlen)


Aufgabe 4:
Berechnen Sie die folgenden Integrale.

a) $ {\displaystyle{\int \limits_{1}^{3} \displaystyle \frac{dx}{\sqrt {x}
(1+x)}}}$                  b) $ {\displaystyle{\int
\limits_{2}^{3} \displaystyle \frac{\ln x}{(x - 1)^2}\,dx}}$

Antwort:

a) $ \pi/$                         b) $ \ln($ $ /\sqrt{3} )$

Aufgabe 5:
Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren, und berechnen Sie gegebenenfalls ihre Werte.
a) $ \displaystyle{\int\limits_{2}^\infty\frac{x^2}{\sqrt{x^3-1}}}\,dx$                                 b) $ \displaystyle{\int\limits_{1}^\infty\frac{6}{\sqrt{x}(x+1)\pi}\;dx}$
c) $ \displaystyle{\int\limits_{-\infty}^\infty \cos^2x \sin x\,dx}$                                 d) $ \displaystyle{\int\limits_{-1}^9\frac{dx}{\sqrt{\vert x\vert}}}$

Antwort:

a)
existiert nicht        existiert        mit Wert
b)
existiert nicht        existiert        mit Wert
c)
existiert nicht        existiert        mit Wert
d)
existiert nicht        existiert        mit Wert


Aufgabe 6:
Bestimmen Sie für die Funktionen
a) $ f(x)=\displaystyle{\exp\left(\frac{1}{1+x}\right)}$              b) $ f(x)=\displaystyle{\frac{x^2-2}{(x-1)(x+2)}}$              c) $ f(x)=\displaystyle{(x-1)^{(x+1)}}$
die ersten drei Terme ihrer Taylor-Entwicklung. Geben Sie im Fall a) auch den Konvergenzradius $ r$ der Taylor-Entwicklung an.

Antwort:
a)
$ \displaystyle\frac{e}{2}\Big($ $ +$ $ x$ $ +$ $ x^{2}\Big) $ ,         $ r=$
b)
$ \displaystyle\frac{1}{8}\Big($ $ +$ $ (x+1)$ $ +$ $ (x+1)^{2}\Big)$
c)
$ +$ $ (x-2)$ $ +$ $ (x-2)^{2}$


   

(Zusammengestellt von G. Blind unter Mitwirkung von S. Poehler und A. Schlömerkemper) automatisch erstellt am 10.3.2017