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Mathematik-Online-Test:

Analysis einer Veränderlichen, Differentialgleichungen, komplexe Zahlen, lineare Algebra, Test 2


Aufgabe 1:
Die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr} 10 & -5 & 9 & 7 \\ 0 & 3 & 0 & -1 \\
-4 & 2 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \end{array} \right) $

besitzt einen ganzzahligen Eigenwert $ \lambda$ mit algebraischer Vielfachheit $ 4$ . Bestimmen Sie diesen Eigenwert:

$ \lambda = $ .

Bestimmen Sie die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$ . Beginnen Sie oben mit dem größten Jordan-Kästchen:

$ J= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Ergänzen Sie bei den folgenden drei Vektoren $ v_{1}$ , $ v_{2}$ und $ v_{3}$ die noch fehlenden Einträge durch Elemente aus $ \{-2,-1,0,1,2\}$ so, daß sie Eigenvektoren von $ A$ sind:

$ v_{1}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ , $ v_{2}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ , $ v_{3}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Wählen Sie für die noch offenen Einträge in folgender Matrix $ T$ Elemente aus $ \{-2,-1,0,1,2\}$ so, daß $ T$ die Matrix $ A$ auf Normalform transformiert, also $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 2$ $ 2$ $ 2$
$ -2$ $ -2$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .


Aufgabe 2:
Gegeben seien die Matrizen

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 8 \\
3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \...
... & t & 0 \\
t & 1 & 0 \\ 0 & t & 1 \end{array} \right)\quad (t\in\mathbb{R}). $

a) Tragen Sie die Eigenwerte von $ A$ aufsteigend sortiert in die Diagonale der folgenden Matrix $ D$ ein:

$ D= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Vervollständigen Sie nachstehende Matrix $ S$ so, daß $ S^{-1}AS=D$ gilt:

$ S= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$ $ 1$ $ 2$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

b) Bestimmen Sie den positiven Wert $ t_{0}$, für den $ A$ und $ B_{t_{0}}$ konjugiert sind (d.h. es gibt eine reguläre Matrix $ U$ mit $ U^{-1}AU=B_{t_{0}}$):

$ t_{0}=$ .

Ab jetzt sei $ B=B_{t_{0}}$ gesetzt. Vervollständigen Sie nachstehende Matrix $ T$ so, daß $ TB_{t}T^{-1}$ für alle $ t\in\mathbb{R}$ eine Diagonalmatrix ist und $ TBT^{-1}=D$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ 1$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

c) Bestimmen Sie eine Matrix $ M$ mit ganzzahligen Einträgen und den Eigenwerten $ 1$, $ 2$ und $ 4$, so daß gilt $ M^{-1}AM=B$.
Lösung:

$ M= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .


Aufgabe 3:
Gegeben sei die Funktion $ {\displaystyle{f(x)=\frac{7x^2-36x+21}{(x-1)^2(x^2-9)}}}$ .

Kreuzen Sie den geeigneten Ansatz für die reelle Partialbruchzerlegung von $ f$ an und berechnen Sie die Koeffizienten $ a$ , $ b$ , $ c$ und $ d$ .


keine Angabe
$ {\displaystyle{f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{c}{x+3}+\frac{d}{x-3}}}$
$ {\displaystyle{f(x)=\frac{ax}{x-1}+\frac{bx}{(x-1)^2}+\frac{cx}{x+3}+\frac{dx}{x-3}}}$
$ {\displaystyle{f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{c}{x-3}+\frac{d}{(x-3)^2}}}$
$ {\displaystyle{f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x-3}+\frac{d}{x+3}}}$

$ a=$          $ b=$          $ c=$          $ d=$         


Aufgabe 4:
Gegeben sei folgende Differentialgleichung

$\displaystyle y'''-4y''+6y'-4y=0.$

a)
Berechnen Sie die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und geben Sie diese in aufsteigender Reihenfolge des Imaginärteils an.

$ \lambda_1=$ + $ \cdot\mathrm{i}$          $ \lambda_2=$ + $ \cdot\mathrm{i}$          $ \lambda_3=$ + $ \cdot\mathrm{i}$

Welche der folgenden Funktionen ist eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung?

keine Angabe
$ \displaystyle y=c_1e^{-x}\sin x+c_2e^{2x}+c_3e^x\cos x$
$ \displaystyle y=c_1e^{2x} +c_2(e^x+\sin x) + c_3(e^x+\cos x)$
$ \displaystyle y=c_1\sin x+c_2e^{2x}+c_3\cos x$
$ \displaystyle y=c_1e^{2x}+c_2e^{x}\sin x+c_3e^x\cos x$

b)
Welche spezielle Lösung erfüllt die folgenden Randbedingungen?

$\displaystyle y(0)$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle y'(0)$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle y''(0)$ $\displaystyle =2$    

$ c_1=$      $ c_2=$      $ c_3=$     

c)
Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

$\displaystyle y'''-4y''+6y'-4y=(15x-2)e^{-x}$

$ y_p=($ $ x$ + $ )e^{-x}$


Aufgabe 5:
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}\,.$

  1. Definitionsbereich

    Geben Sie alle $ x\in\mathbb{R}$ , für die $ f$ nicht definiert ist aufsteigend sortiert an, und beschreiben Sie sie näher.

    $ x_1=$ keine Angabe keine Polstelle einfache Polstelle doppelte Polstelle
    $ x_2=$ keine Angabe keine Polstelle einfache Polstelle doppelte Polstelle

  2. Symmetrie

    keine Angabe
    $ f$ ist symmetrisch zur $ x$ -Achse
    $ f$ ist symmetrisch zur $ y$ -Achse
    $ f$ ist symmetrisch zum Ursprung
    $ f$ ist nicht symmetrisch

  3. Nullstellen

    Geben Sie die Nullstelle von $ f$ an.

    $ x_3=$

  4. Extrempunkte

    Geben Sie das lokale Extremum von $ f$ an und beschreiben sie es näher.

    $ x_4=$ keine Angabe lokales Minimum lokales Maximum

  5. Wendepunkte

    keine Angabe
    $ f$ besitzt keine Wendepunkte
    $ f$ besitzt genau einen Wendepunkt
    $ f$ besitzt genau zwei Wendepunkt
    $ f$ besitzt drei oder mehr Wendepunkte

  6. Asymptoten

    $ f$ besitzt die Gerade $ y=$ $ x +$ als Asymptote.

  7. Graph

    Geben sie an, welcher Graph zu $ f$ gehört.

     keine Angabe Graph 1 Graph 2
       \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion3_1.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion3_2.eps}
       Graph 3 Graph 4
       \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion3_3.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion3_4.eps}


Aufgabe 6:
Die Funktion $ f: [a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ mit $ a<b$ sei stetig auf $ [a,b]$ und differenzierbar auf $ (a,b)$ . Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind:

$ f$ ist streng monoton $ \Longrightarrow$ $ (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ keine Angabe wahr falsch
$ \int f(x)\sin x~dx=-f(x)\cos x+ \int f'(x)\cos x~dx$ keine Angabe wahr falsch
$ \exists\xi\in(a,b)$ mit $ f(\xi)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$ keine Angabe wahr falsch
$ \lim\limits_{x\to a}\left(f(x)\sin(x-a)\right)=0$ keine Angabe wahr falsch


Aufgabe 7:
Welches der grauen Gebiete in der komplexen Zahlenebene wird durch die Menge

$\displaystyle M=\left\{z\in\mathbb{C}: \vert e^z\vert\leq 1\right\}
$

beschrieben?

 keine Angabe Gebiet 1 Gebiet 2
   \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung3_1.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung3_2.eps}
   Gebiet 3 Gebiet 4
   \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung3_3.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung3_4.eps}


   

(Konzipiert von W. Kimmerle unter Mitwirkung von A. App) automatisch erstellt am 5.10.2004