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Mathematik-Online-Test:

HM III, Prof. Kimmerle, 2004 Herbst

Aufgabe 1:
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{rcr} -x & \text{ f''ur } & -\pi < x<0\\ x & \text{ f''ur } & 0 \leq x \leq \pi \end{array}\right.\,, $

die $ 2\pi$-periodisch auf $ \mathbb{R}$ fortgesetzt wird.
a)
Skizzieren Sie die Funktion, bestimmen Sie eventuell vorhandene Symmetrien von $ f$ und ermitteln Sie ihre Fourier-Reihe $ F(x)$.
b)
Für welche $ x\in \mathbb{R}$ konvergiert $ F(x)$ gegen $ f(x)$? Berechnen Sie die Summe der unendlichen Reihe

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2}\,,$

indem Sie die Funktion aus a) an einer geeigneten Stelle auswerten.
c)
Gegeben sei

$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{array}{rcr} -x-\pi & \text{ f''ur } & -\pi < ... ...{ f''ur } & x = 0\\ x & \text{ f''ur } & 0 < x \leq \pi \end{array}\right.\,. $

Für welche $ x\in \mathbb{R}$ konvergiert die Fourier-Reihe $ G(x)$ von $ g(x)$ nicht gegen $ g(x)$? Wogegen konvergiert sie in diesen Punkten?

Lösung:

a)

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k11_bild1} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k11_bild2}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k11_bild3} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k11_bild4}

$ f$ besitzt die Fourierreihe

$\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n\sin nx)$

Kreuzen sie die richtigen Koeffizienten an.

  keine Angabe 0 $ \frac{2}{n^2\pi}$ $ \frac{2}{n^2\pi}(-1)^n$ $ \frac{2}{n^2\pi}((-1)^n-1)$ $ \frac{\pi}{n^2}(-1)^n$
$ a_n$
$ b_n$

b)

$ F(x)$ konvergiert gegen $ f(x)$ für
keine Angabe
$ x=0$
$ x\in (-\pi,\pi)$
$ x\in [-\pi,\pi]$
$ x\in \mathbb{R}$

$ \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2}\ =\ \pi$
 
 
$ \Big/$

c)

$ G(x)$ konvergiert nicht gegen $ g(x)$ für
keine Angabe
$ x=0$
$ x=k\pi, k\in\mathbb{Z}$
$ x=-\pi$ oder $ x=\pi$
$ x\in \mathbb{R}$

Aufgabe 2:
a)
Bestimmen Sie die Polstellen der komplexen Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{z^2}{\left(z^2+1\right)\left(z^2+4\right)}$

sowie deren Vielfachheit.
b)
Berechnen Sie in allen Polstellen $ z_n$ mit positivem Imaginärteil das Residuum der Funktion $ f(z)$. Schreiben Sie $ f(z)$ hierzu in der Form

$\displaystyle f(z)=\frac{g_n(z)}{(z-z_n)}\ . $

c)
Berechnen Sie das uneigentliche Integral

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{\big(x^2+1\big)\left(x^2+4\right)}\,\mathrm{d}x\ ,$

indem Sie die Funktion $ f(z)$ über den in der Abbildung dargestellten Weg integrieren und eine geeignete Grenzwertbetrachtung durchführen.
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{pic_weg}

Lösung:

a)
Geben Sie zuerst die betragsmäßig kleinere Nullstelle an.

         $ z_{1/2}\ =\ \pm$$ \cdot$i        Vielfachheit:

         $ z_{3/4}\ =\ \pm$$ \cdot$i        Vielfachheit:

b)

        Res $ (f,z_1)\ =\ $i$ \Big/$

        Res $ (f,z_3)\ =\ $i$ \Big/$

c)

         $ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx\ =\ \pi\Big/$

Aufgabe 3:
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Aufgabe 4:
Gegeben sei die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 0&2&1\\ 1&0&0\\ -5&7&3 \end{array}\right).$

a)
Das charakteristische Polynom von $ A$ lautet

         $ \lambda^3\ +\ $ $ \lambda^2\ +\ $ $ \lambda\ +\ $

b)
Bestimmen Sie die Eigenwerte von $ A$ mit ihrer algebraischen Vielfachheit $ e_\lambda$ und geometrischen Vielfachheit $ d_\lambda$. (Hinweis: Alle Eigenwerte sind ganzzahlig.)

         $ \lambda\ =\ $,         $ e_\lambda\ =\ $,         $ d_\lambda\ =\ $

c)
Bestimmen Sie eine Jordan-Normalform $ J$ von $ A$, sowie eine Transformationsmatrix $ T$, mit $ J=T^{-1}AT$.
$ J\ =\ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$          $ T\ =\ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
1
1
0
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$

d)
Gegeben sei das DGL-System $ Y'=A Y$. Durch Transformation erhält man das System $ Z'=J Z$. Geben Sie die allgemeine Lösung $ Z_\mathrm{allg}$ des transformierten Systems an.

$ Z_\mathrm{allg}\ =\ c_1\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)e^{\lambda x}\ +\ c_2\left(\rule{0cm}{7ex}\right.$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ \left.\rule{0cm}{7ex}\right)e^{\lambda x}\ +\ c_3\left(\rule{0cm}{9ex}\right.$
$ +$ $ x+\Big(1\Big/$$ \Big)x^2$
$ +$$ x+$$ x^2$
$ +$$ x+$$ x^2$
$ \left.\rule{0cm}{9ex}\right)e^{\lambda x}$
e)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung $ Y_\mathrm{allg}$ des DGL-Systems.
$ Y_\mathrm{allg}\ =\ c_1\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)e^{\lambda x}\ +\ c_2\left(\rule{0cm}{7ex}\right.$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ \left.\rule{0cm}{7ex}\right)e^{\lambda x}\ +\ c_3\left(\rule{0cm}{10ex}\right.$
$ +$ $ x+\Big(1\Big/$$ \Big)x^2$
$ +$ $ x+\Big(1\Big/$$ \Big)x^2$
$ +$ $ x+\Big(1\Big/$$ \Big)x^2$
$ \left.\rule{0cm}{10ex}\right)e^{\lambda x}$

f)
Gegeben sei ein weiteres DGL-System $ Y'=BY$. Sei

$\displaystyle Y_\mathrm{allg}=c_1 \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array... ...right)e^{-x} +c_4 \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)e^{-x}. $

Geben Sie eine Matrix $ B$ an, so dass $ Y_\mathrm{allg}$ die allgemeine Lösung des DGL-Systems ist.

$ B\ =\ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{8ex}\right)$
   
  automatisch erstellt am 13.10.2004