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Mathematik-Online-Test:

HM III, Prof. Kimmerle, 2004 Herbst

Aufgabe 1:
a)
Lösen Sie das Differentialgleichungssystem

$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{\displaystyle\mathrm{d}y}{\displaystyle\... ...{\displaystyle\mathrm{d}z}{\displaystyle\mathrm{d}x} & = & 3y+2z\\ \end{array}$

b)
Bestimmen Sie für das autonome System

$\displaystyle \begin{array}{rcl} x'(t) & = & 1\\ y'(t) & = & y+2z\\ z'(t) & = & 3y+2z \end{array}$

mit Hilfe von a) ein erstes Integral.
c)
Zeigen Sie: $ v(x,y,z)=3e^xy-2e^xz$ ist eine Lösung der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle v_x+(y+2z)v_y+(3y+2z)v_z =0\,. $

Bestimmen Sie eine weitere Lösung der partiellen Differentialgleichung, die z u $ v(x,y,z)$ linear unabhängig und keine Konstante ist. In welchem Zusammenhang

steht das autonome System von Teil b) zu dieser partiellen Differentialgleichung?

Lösung:

a)
Charakteristisches Polynom:         $ \lambda^2+$$ \lambda+$

Eigenwerte: (Beginnen Sie mit dem größeren Eigenwert)

         $ \lambda_1\ =\ $         $ \lambda_2\ =\ $

Eigenvektoren:
zu $ \lambda_1$:         $ v_1=\left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ 2$  
 
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)$
zu $ \lambda_2$:         $ v_2=\left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ 1$  
 
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)$

$ \left(\begin{array}{c}z\\ \\ \\ y\end{array}\right)= \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
  $ x$     $ x$
$ e$     $ e$  
            
  $ x$     $ x$
$ e$     $ e$  
$ \left.\rule{0cm}{8ex}\right) \left(\begin{array}{c}c_1\\ \\ \\ c_2\end{array}\right)$

b)
Erstes Integral:

$ u_1=\dfrac15\Big($
  $ x$   $ x$
$ ye$   $ +\quad$$ ze$  
$ \Big)$
$ u_2=\dfrac15\Big($
  $ x$   $ x$
$ ye$   $ +\quad$$ ze$  
$ \Big)$

Aufgabe 2:
Gegeben seien die Körper $ M$, $ N$ und $ P$, für die gilt: Desweiteren sei die Massenfunktion (Dichte) $ d(x,y,z)=2+y$, das Vektorfeld

$\displaystyle g(x,y,z)=\left(e^x\sin z,\,1,\,e^x\cos z\right)^t $

und die Kurve $ K$ als Schnitt von $ N$ und $ P$ im Halbraum $ z\geq 0$ gegeben.
a)
Skizzieren Sie den Schnitt von $ M$ mit der $ (x,z)$-Ebene.
b)
Berechnen Sie unter Verwendung von Kugelkoordinaten die Masse und den Schwerpunkt des Körpers $ M$, wenn dieser die Massenfunktion (Dichte) $ d(x,y,z )$ besitzt.
c)
Bestimmen Sie $ \operatorname{rot} g$ und berechnen Sie

$\displaystyle \int\limits_{K} g\, \mathrm{d}x $

mit Hilfe des Satzes von Stokes.
Lösung:
a)
Wählen Sie die richtige Skizze aus.

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k22bild1} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k22bild2}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k22bild3} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k22bild4}

b)
Masse:    $ m\ =\ $$ \pi\Big/$

Schwerpunkt:     $ S\ =\ \Big($    ,        ,    $ \Big/$$ \Big)$

c)
Rotation:     $ \operatorname{rot} g\ =\ \Big($    ,        ,    $ \Big)$

$ \displaystyle\int\limits_{K} g\, \mathrm{d}x\ =\ $

Aufgabe 3:
Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle y''+ay'+y=r(x),\qquad a\in\mathbb{R}.$

a)
Zunächst sei $ a=0$. Bestimmen Sie die Lösung $ y_\mathrm{hom}$ der homogenen Differentialgleichung $ y''+y=0$.

Das charakteristische Polynom lautet

         $ \lambda^2\ +\ $ $ \lambda\ +\ $

         $ y_\mathrm{hom}\ =\ $

Welche Terme kommen in der homogenen Lösung vor?
  keine Angabe ja nein
$ \sin x$
$ x\sin x$
$ \cos x$
$ x\cos x$
$ e^x$
$ e^{-x}$

b)
Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung $ y_\mathrm{p}$ der Differentialgleichung $ y''+y=\cos x$ mit Hilfe eines geeigneten Ansatzes .

Geben Sie den Ansatz an.

Wie sieht die partikuläre Lösung aus?

         $ y_\mathrm{p}\ =\ \Big($$ \Big/$ $ \Big)x\sin x\ +\ $$ x\cos x$

c)
Bestimmen Sie mit Hilfe der Variation der Konstanten eine partikuläre Lösung $ y_\mathrm{p}$ der Differentialgleichung $ y''+y=-3\sin x\cos x$.

         $ y_\mathrm{p}\ =\ $ $ \sin x\ +\ $ $ \cos x\ +\ $ $ \sin x\cos x$

d)
Für welche Werte von $ a\in\mathbb{R}$ hat die Differentialgleichung $ y''+ay'+y=0$ Lösungen der Form $ y=xe^{kx},\ k\in\mathbb{R}$?

Geben Sie zuerst den kleineren Wert an.

        $ a_1\ =\ $        $ a_2\ =\ $

Wie sehen die entsprechenden Lösungen aus?

Lösung für $ a_1$:     $ y\ =\ x\cdot e$
 
   
   
Lösung für $ a_2$:     $ y\ =\ x\cdot e$
 
   
   

Aufgabe 4:
Gegeben sei in Abhängigkeit des Parameters $ a \in \mathbb{Z} $ das Vektorfeld $ g_a : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R} ^3$ durch

$\displaystyle g_a(x,y,z) = (az \sin (ax) , z \cos y , -a^2 \cos x + \sin y )^t.$

a)
Berechnen Sie $ \operatorname{rot} g_a$.

b)
Für welche Werte des Parameters $ a$ besitzt das Vektorfeld $ g_a$ ein Potential ?

c)
Bestimmen Sie zu dem größten $ a$ eine Potentialfunktion $ u$.

d)
Im $ \mathbb{R} ^3$ sei $ W$ die Strecke von $ (0,0,1)$ nach $ (0,0,0)$ und $ C$ der Viertelkreis um $ (0,0,2)$ mit Radius $ 1 ,$ der bei $ (1,0,2)$ beginnt und zu $ (0,0,1)$ führt. Geben Sie eine Parameterdarstellung von $ W$ und von $ C$ an.

e)
Berechnen Sie $ I_1 = \int\limits_{W} g_a \, \mathrm{d}x$ und $ I_2$ = $ \int\limits_{C} g_1 \, \mathrm{d}x$

Lösung:

a)
$ \operatorname{rot} g_a\ =\ \Big($$ a$, $ a\sin(ax)+$$ a^2\sin x$, $ a^2\Big)^t$

b)
Beginnen Sie mit dem kleinsten Wert für $ a$:

$ a\ =\ $    oder    $ a\ =\ $    oder    $ a\ =\ $

c)
$ u\ =\ $$ z\sin x+$$ z\cos x+$$ z\sin y+$$ z\cos y+c$

d)
$ W(t)\ =\ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ +$$ t$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)\ ,\quad t\in[0,1]$

$ C(t)\ =\ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)+\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \cos t$
$ \sin t$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)\ ,\quad t\in[0,\tfrac{\pi}{2}]$

e)
$ I_1\ =\ $$ a$
 
   
   

$ I_2\ =\ $$ +$$ \cos\Big($$ \Big)$

   
  automatisch erstellt am 13.10.2004