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Mathematik-Online-Test:

Aussagenlogik, Kombinatorik, komplexe Zahlen, Vektorrechnung


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V4   A2 V3   A3 V4   A4 V4   A5 V1 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Ermitteln Sie den Wahrheitswert des logischen Ausdrucks

$\displaystyle D: \; (\lnot A\land B)\Rightarrow (C\lor A)
$

in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der Aussagen $ A,B,C$ .


Antwort:

A w w w w f f f f
B w w f f w w f f
C w f w f w f w f
D
Geben Sie jeweils entweder 'w' oder 'f' an.
Aufgabe 2:
Gegeben sind die Mengen

$\displaystyle A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$   und$\displaystyle \qquad B=\{b_1,b_2\}\,.$

Bestimmen Sie die Anzahl $ n_R$ der unterschiedlichen Relationen zwischen den Mengen $ A$ und $ B$ sowie die Anzahl $ n_A$ der verschiedenen Abbildungen von $ A$ in $ B$ . Wie viele dieser Abbildungen sind injektiv, surjektiv, bijektiv?


Antwort:

$ n_R=$ $ n_A=$      
injektiv:     surjektiv:     bijektiv:  

Aufgabe 3:
Berechnen Sie für $ z=2-2\mathrm{i}$ die Polarform $ re^{\mathrm{i}\varphi}$ mit $ \varphi\in (-\pi,\pi]$ sowie

$\displaystyle z_1=\frac{z^3}{\bar{z}^4}\,,\qquad
z_2=\frac{z+\mathrm{i}}{z}\,, \qquad
c=\vert e^{\mathrm{i}z}\vert\,,\qquad
s=(\operatorname{Im} \sqrt{z})^2\,.
$

Antwort: (Eingaben sind auf vier Nachkommastellen zu runden)

$ r={}$      $ \varphi={}$ $ \pi$

$ z_1={}$ $ \,+\,$ $ \mathrm{i}$

$ z_2={}$ $ \,+\,$ $ \mathrm{i}$

$ c={}$     $ s={}$


Aufgabe 4:
Gegeben sind die Vektoren

$\displaystyle \vec{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)\,, \quad
\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$   und$\displaystyle \quad
\vec{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -1\end{array}\right)\,.
$

Berechnen Sie die Länge der Vektoren $ \vec{u}$ und $ \vec{v}$ . Bestimmen Sie einen normierten Vektor $ \vec{w}$ , so dass $ \left\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right\}$ ein orthogonales Rechtssystem ist. Berechnen Sie $ \left[ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right]$ sowie die Koeffizienten des Vektors $ \vec{x}$ bezüglich der Basis $ \left\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right\}$ .


Antwort:
$ \left\vert\vec{u}\right\vert={}$ ,         $ \left\vert\vec{v}\right\vert={}$ ,         $ \vec{w}=\big($ ,, $ \big)^\mathrm{t}$ ,         $ \left[ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right]={}$ ,
$ \vec{x}={}$ $ \vec{u}+$ $ {}\vec{v}+{}$ $ {}\vec{w}$

(Eingaben sind auf vier Nachkommastellen zu runden)


Aufgabe 5:
Berechnen Sie für

$\displaystyle P=(0,1,1)\,, \qquad
g:\; \vec{x}=
\left(\begin{array}{c} -3 \\ 6...
...-5 \end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)
$

den Abstand $ d$ von $ P$ zu $ g$ sowie $ Q\in g$ mit $ d=\vert\overrightarrow{PQ}\vert$ , den Winkel $ \sphericalangle(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ})$ und den Flächeninhalt des Dreiecks $ POQ$ . Bestimmen Sie ebenfalls die Hesse-Normalform der Ebene, die $ P$ und $ g$ enthält.

Antwort:

$ d={}$ ,     $ Q=\Big($ ,,$ \Big)$

$ \sphericalangle(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ})={}$ $ \,\pi$ ,      Flächeninhalt des Dreiecks $ POQ$ :

Hesse-Normalform: $ \,x+{}$ $ \,y+{}$ $ \,z={}$

(auf vier Nachkommastellen gerundet.)


   

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von M. Boßle und J. Wipper) automatisch erstellt am 4.7.2008