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Mathematik-Online-Test:

Analysis einer Veränderlichen - Test 5

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V3   A2 V2   A3 V2   A4 V3   A5 V3   A6 V1 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .

Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von

$\displaystyle r(x)=\frac{4}{x^2+3x}\ .$

Wie lautet der Ansatz für die Partialbruchzerlegung von $ (r(x))^2$?


Antwort: (Ergebnisse ggf. auf die vierte Nachkommastelle runden)

Ansatz zur Partialbruchzerlegung von $ r(x)$:

keine Angabe      $ \dfrac{a_1}{x}+\dfrac{a_2}{x-c}$      $ \dfrac{a_1}{x}+\dfrac{a_2x}{x-c}$      $ \dfrac{a_1}{x}+\dfrac{a_2x}{(x-c)^2}$
mit $ c=$.


In der Partialbruchzerlegung von $ r(x)$ lauten die Koeffizienten

$ a_1=$, $ a_2=$


Ansatz zur Partialbruchzerlegung von $ (r(x))^2$:

keine Angabe $ \dfrac{a_1+a_2x}{x}+\dfrac{a_3+a_4x}{x-c}$
$ \dfrac{a_1+a_2x}{x^2}+\dfrac{a_3+a_4x}{(x-c)^2}$ $ \dfrac{a_1}{x}+\dfrac{a_2}{x^2}+\dfrac{a_3}{x-c}+\dfrac{a_4}{(x-c)^2}$
mit $ c=$.

Aufgabe 2:
Ermitteln Sie, ob folgende Grenzwerte existieren und berechnen Sie diese gegebenenfalls.
a) $ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{2n-n^3}$                  b) $ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{n^7}$                  c) $ \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{3n}$

Antwort:

a)
nein        ja        Grenzwert:
b)
nein        ja        Grenzwert:
c)
nein        ja        Grenzwert:

(Auf vier Dezimalstellen runden.)

Aufgabe 3:
Geben Sie an, welche der folgenden Reihen konvergieren und welche absolut konvergieren.
a)      $ \displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{3n}{n^2+1}$          b)      $ \displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2+3^n}$          c)      $ \displaystyle \sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\ln n}$

Antwort:

a) divergiert ja     nein
  konvergiert ja     nein
  konvergiert absolut ja     nein
b) divergiert ja     nein
  konvergiert ja     nein
  konvergiert absolut ja     nein
c) divergiert ja     nein
  konvergiert ja     nein
  konvergiert absolut ja     nein

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $ D_f\subseteq\mathbb{R}$ und die erste Ableitung der folgenden Funktionen $ f:D_f\to\mathbb{R}$ .
a)     $ f(x)=\dfrac{3+x}{2-x}$         b)     $ f(x)=\sqrt{e^x-1}$         c)     $ f(x)=\ln(4+\cos x)$

Antwort: (Eingaben ganzzahlig mit kleinstem positivem $ c$)

a)
$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f'(x) =$ $ \dfrac{b}{(c-x)^d}$        mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$.

b)
$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f'(x) =$ $ \dfrac{be^x}{c\sqrt{d(1-e^x)}}$        mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$.

c)

$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f'(x) =$ $ \dfrac{b\sin x}{c+d\cos x}$        mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$.

Aufgabe 5:
Bestimmen Sie für die Funktion

$\displaystyle f(x)=\sqrt{1+5x} $

die Werte
a) $ f(0)$                          b) $ f'(0)$                          c) $ f''(0)$
sowie
d)
die ersten drei Terme der Taylor-Entwicklung von $ f$ zum Entwicklungspunkt $ x_0=0$ .
Antwort:

a)         b)         c)          d) $ +$ $ x$ $ +$ $ x^2$

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 6:
Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen, Extrem- und Wendepunkte der Funktion

$\displaystyle f(x)=x^{2}-\dfrac{2}{x} $

und skizzieren Sie den Graphen.


Antwort:

Nullstelle:
Polstelle:
Extrempunkt: $ \Big($,$ \Big)$:         Typ: Minimum , Maximum         global: ja , nein
Wendepunkt: $ \Big($,$ \Big)$

Skizze:

Skizze 1 Skizze 2 Skizze 3 Skizze 4
\includegraphics[width=3cm]{a6_v2_l_bild.eps} \includegraphics[width=3cm]{a6_v3_l_bild.eps} \includegraphics[width=3cm]{a6_v1_l_bild.eps} \includegraphics[width=3cm]{a6_v4_l_bild.eps}

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

   
(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von M. Boßle und J. Wipper) automatisch erstellt am 26.6.2008