Mathematik-Online-Test: Aussagenlogik, mathematische Grundlagen

Aufgabe 1:
Vervollständigen Sie die abgebildete Wahrheitstafel so, dass dadurch die Aussage $A \wedge B \Longrightarrow A$ bewiesen wird.

$A \wedge B$

$A \wedge B \longrightarrow A$

${\displaystyle{\begin{array}{c} \overset{\ }{\overset{\ }{w}} \\ \overset{\ }{... ...\\ \overset{\ }{\overset{\ }{f}} \\ \overset{\ }{\overset{\ }{f}} \end{array}}}$

${\displaystyle{\begin{array}{c} \overset{\ }{\overset{\ }{w}} \\ \overset{\ }{... ...\\ \overset{\ }{\overset{\ }{w}} \\ \overset{\ }{\overset{\ }{f}} \end{array}}}$

Aufgabe 2:
Gegeben seien die drei Aussagen

$\displaystyle A: x\leq 3, \quad \ B: x\leq 4, \quad \ C: x^2=16$

über eine reelle Zahl

. Geben Sie an, ob die in der Tabelle genannten Beziehungen zwischen den Aussagen

und

bestehen
(J für ,,ja``, N für ,,nein``).


ist hinreichend für	`J`
ist notwendig für		`J`
ist hinreichend für			`J`

Aufgabe 3:
Kreuzen Sie an: Wie lautet die Verneinung von

$\displaystyle {\mbox{$\exists \ x>0 \ \ \forall \ y<0 \ \ \exists \ z<0 \,: xy>z$\ \quad ?}}$

keine Angabe
$\forall \ x>0$ $\exists \ y<0$ $\forall z<0$ :
$\forall \ x\leq 0$ $\exists \ y\geq 0$ $\forall z\geq 0$ : $xy\leq z$
$\forall \ x>0$ $\exists \ y<0$ $\forall z<0$ : $xy\leq z$
$\exists \ x\leq 0$ $\forall \ y\geq 0$ $\exists z\geq 0$ : $xy\leq z$

Aufgabe 4:
Gegeben seien die Mengen $A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$ und $B=\{4, 5, 6, 7\}$ .

Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen zutreffen (J für ,,ja``, N für ,,nein``).

	$A \cup B$	$A \cap B$	$A\setminus B$	${\cal{P}} (A)$
ist Element von
$\{2, 3\}$ ist Teilmenge von
$\{1, 4\}$ ist Element von

Aufgabe 5:
Geben Sie an, ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv bzw. bijektiv sind (J für ,,ja``, N für ,,nein``).

	ist injektiv	ist surjektiv	ist bijektiv
$f: \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\,, \ x\longmapsto x^2$
$f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}_{\,0}^+\,, \ x\longmapsto x^2$
$f: \mathbb{R}_{\,0}^+\,\longrightarrow \mathbb{R}_{\,0}^+\,, \ x\longmapsto x^2$
$f: \mathbb{R}_{\,0}^+\,\longrightarrow\mathbb{R}\,, \ x\longmapsto x^2$

Aufgabe 6:
Sei

eine Menge und ${\cal{R}} \subseteq A\times A$ eine Relation auf

. Geben Sie an, ob die genannten Bedingungen erfüllt sein müssen, damit ${\cal{R}}$ eine Äquivalenzrelation bzw. Ordnungsrelation ist (J für ,,ja``, N für ,,nein``).

Äquivalenzrelation

Ordnungsrelation

${\cal{R}}$ ist symmetrisch

${\cal{R}}$ ist antisymmetrisch

${\cal{R}}$ ist assoziativ

${\cal{R}}$ ist reflexiv

${\cal{R}}$ ist transitiv

${\cal{R}}$ besitzt ein neutrales Element

Aufgabe 7:
Handelt es sich bei den folgenden Relationen ${\cal{R}} \subseteq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ um Äquivalenzrelationen bzw. Ordnungsrelationen (J für ,,ja``, N für ,,nein``)?

	ist Äquivalenzrelation	ist Ordnungsrelation
$m\,{\cal{R}}\,n :\Longleftrightarrow m=n$
$m\,{\cal{R}}\,n :\Longleftrightarrow m^2=n^2$
$m\,{\cal{R}}\,n :\Longleftrightarrow m\geq n$
$m\,{\cal{R}}\,n :\Longleftrightarrow m<n$

Aufgabe 8:

a)

Wie lautet die Definition des Binomialkoeffizienten?

${\displaystyle{\binom{n}{k}=}}$

keine Angabe
${\displaystyle{\frac{k}{(n-k)\,n}}}$	${\displaystyle{\frac{n!}{(k-n)!\,k!}}}$	${\displaystyle{\frac{n^n}{n!\,k!}}}$	${\displaystyle{\frac{n^k}{(n-k)!}}}$	${\displaystyle{\frac{n!}{k!\,(n-k)!}}}$	${\displaystyle{\frac{k!}{n!\,(k-n)!}}}$

für $n\in\mathbb{N}\,, \quad k\in \{0,\,\ldots , n\}$ .

b)

Der binomische Satz hat die Form ${\displaystyle{(a+b)^n=\sum_{k=0}^n c_k\;a^k\;b^{n-k}}}$ .

Stimmen folgende Ausdrücke mit überein (J für ,,ja``, N für ,,nein``)?


${\displaystyle{\binom{2}{n}}}$	${\displaystyle{\binom{n}{2}}}$	${\displaystyle{\frac{n!}{2! (n-2)!}}}$	${\displaystyle{\binom{n}{n-2}}}$	${\displaystyle{\frac{n}{2 (n-2)}}}$	${\displaystyle{\binom{n-2}{2}}}$

Aufgabe 9:
Kreuzen Sie an, welche der angegebenen Mengen gleich mächtig bzw. nicht gleich mächtig sind. Hinweis: $[1, 2]=\{x\in\mathbb{R} : 1\leq x\leq 2\}$ usw.

		sind gleich mächtig	sind nicht gleich mächtig
$\{1, 2\}$ und	keine Angabe
und	keine Angabe
$\mathbb{N}$ und $\mathbb{N}\setminus\{1, 2\}$	keine Angabe
$\mathbb{N}\setminus\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}$	keine Angabe

Aufgabe 10:
Bestimmen Sie ${\rm {ggT}} (111, 296)$ mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus. Geben Sie in jedem Schritt die berechnete Zerlegung an.

$\cdot$

$\Longrightarrow \quad \ {\rm {ggT}} (111, 296) \ = \$

Aufgabe 11:
Kreuzen Sie an, ob es sich bei den angegebenen mathematischen Strukturen um Gruppen handelt.

		ist Gruppe	ist keine Gruppe
$(\mathbb{N} , \cdot)$	keine Angabe
$(\mathbb{R} , +)$	keine Angabe
$(\mathbb{R} , \cdot)$	keine Angabe
$(\mathbb{F}_3 , +)$	keine Angabe

Aufgabe 12:
Sei $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ eine Folge, und sei $n\in\mathbb{N}$ , mit $n\geq 2$ .

Geben Sie an, ob die folgenden Summen gleich ${\displaystyle{\sum_{k=2}^n a_k}}$ sind (J für ,,ja``, N für ,, nein``).

${\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-2} a_{k-2}}}$	${\displaystyle{\sum_{k=4}^{n+2} a_{k-2}}}$	${\displaystyle{\sum_{k=4}^{n+2} a_k}}$	${\displaystyle{\sum_{k=2}^{n-2} a_{k+2}}}$

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