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Mathematik-Online-Test:

Komplexe Zahlen, Folgen, Konvergenz, Beschränktheit, Ungleichungen


Aufgabe 1:
Bestimmen Sie für jede der angegebenen Ungleichungen ihre Lösungsmenge $ \mathbb{L}\subseteq \mathbb{R}$ (nicht benötigte Kästchen bleiben frei):
a)
     $ {\displaystyle{\frac{1}{x} \ \leq \ \frac{1}{x-1}}}$

$ \mathbb{L} \ =$ keine Angabe                    
  $ \emptyset$     $ (a, b)$      $ (a, \infty)$      $ \mathbb{R}\setminus (a, b)$  
  $ \{a\}$     $ [a, b)$      $ [a, \infty)$      $ \mathbb{R}\setminus [a, b)$  
  $ \mathbb{R}\setminus \{a\}$     $ (a, b]$      $ (-\infty, b)$      $ \mathbb{R}\setminus (a, b]$  
  $ \mathbb{R}$     $ [a, b]$      $ (-\infty,
b]$      $ \mathbb{R}\setminus [a, b]$ ,         mit $ a=$ ,      $ b=$ .
b)
     $ {\displaystyle{2x - \vert x+2\vert \ \leq \ \bigl\vert 2x - \vert x+2\vert
\bigr\vert}}$

$ \mathbb{L} \ =$ keine Angabe                    
  $ \emptyset$     $ (a, b)$      $ (a, \infty)$      $ \mathbb{R}\setminus (a, b)$  
  $ \{a\}$     $ [a, b)$      $ [a, \infty)$      $ \mathbb{R}\setminus [a, b)$  
  $ \mathbb{R}\setminus \{a\}$     $ (a, b]$      $ (-\infty, b)$      $ \mathbb{R}\setminus (a, b]$  
  $ \mathbb{R}$     $ [a, b]$      $ (-\infty,
b]$      $ \mathbb{R}\setminus [a, b]$ ,         mit $ a=$ ,      $ b=$ .

Aufgabe 2:
Welche Abschätzung erhält man mit der Bernoulli-Ungleichung für den angegebenen Ausdruck?

$ {\displaystyle{\left(1+\frac{1}{5} \right)^{\!10} \ \geq}}$ .

Aufgabe 3:
Geben Sie an, ob die folgenden Abbildungen $ d: \mathbb{C}\times\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{R}$ Metriken auf $ \mathbb{C}$ definieren (J für ,,ja``, N für ,,nein``).

  definiert Metrik
$ \overset{}{d(z_1, z_2)}=\vert z_1\vert\cdot \vert z_2\vert$
$ \overset{}{d(z_1, z_2)}=\vert z_1-z_2 \vert$
$ d(z_1, z_2)={\displaystyle{\left\vert\frac{z_1}{z_2}\right\vert}}$
$ d(z_1, z_2)={\displaystyle{\left\{\begin{array}{r@{\,,}cl} 1 & &
{\mbox{f\uml ur}} \ z_1\neq z_2 \\ 0 & & {\mbox{f\uml ur}} \ z_1=z_2
\end{array}\right. }}$
$ \overset{}{d(z_1, z_2)}={\displaystyle{\bigl\vert {\rm {Re}}\ z_1-{\rm {Re}}\ z_2 \bigr\vert +
\bigl\vert {\rm {Im}}\,z_1-{\rm {Im}}\,z_2 \bigr\vert}}$     


Aufgabe 4:
Sei $ (a_n)$ eine Folge in $ \mathbb{R}$. Gegeben sind die vier Aussagen
$ A: \ (a_n)$ ist konvergent,   $ B: \ (a_n)$ ist monoton und beschränkt,
$ C: \ (a_n)$ ist beschränkt,   $ D: \ (a_n)$ ist eine Cauchy-Folge.
Geben Sie an, ob die in der Tabelle genannten Beziehungen zwischen den Aussagen $ A, B, C$ und $ D$ bestehen (J für ,,ja``, N für ,,nein``).

  $ A$ $ B$ $ C$ $ D$
Wenn $ A$ gilt, dann gilt auch J
Wenn $ B$ gilt, dann gilt auch J
Wenn $ C$ gilt, dann gilt auch J
Wenn $ D$ gilt, dann gilt auch J


Aufgabe 5:

Untersuchen Sie, ob die angegebenen Folgen monoton, beschränkt oder Cauchy-Folge sind.

a) $ {\displaystyle{a_n = \frac{n^2+2}{n^2+1}}}$                 b) $ {\displaystyle{a_n = (-1)^n\,\frac{{\rm {e}}^{\,n}}{4^n+5}}}$                 c) $ {\displaystyle{a_n = n-\frac{1}{n}}}$
d) $ {\displaystyle{a_n = \sum_{k=0}^n \left(-\frac{1}{10}\right)^{\!k}}}$                 e) $ {\displaystyle{a_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k}k}}$                  

Antwort:

a)
beschränkt        monoton        Cauchy-Folge
b)
beschränkt        monoton        Cauchy-Folge
c)
beschränkt        monoton        Cauchy-Folge
d)
beschränkt        monoton        Cauchy-Folge
e)
beschränkt        monoton        Cauchy-Folge


Aufgabe 6:

Untersuchen Sie die Folgen $ (a_n)$ auf Konvergenz und berechnen Sie bei Konvergenz den Grenzwert.

a) $ {\displaystyle{a_n = \frac{1}{n^2}\,\binom{n}{2}}}$                         b) $ {\displaystyle{a_n = n-\frac{n^2}{n-{\rm {i}}}}}$
c) $ {\displaystyle{a_n = \frac{n\,{\rm {i}}^{\,n}}{n+1}}}$                         d) $ {\displaystyle{a_1 = 1,\quad
a_{n+1}=\frac{1}{2}\,\left(a_n+\frac{5}{a_n}\right)}}$

Antwort:

a)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
b)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert $ +$ $ {\rm {i}}$
c)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert $ +$ $ {\rm {i}}$
d)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert

(auf vier Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 7:
Bestimmen Sie das Maximum, Minimum, Supremum und Infimum der angegebenen Teilmengen von $ \mathbb{R}$ (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet) bzw. tragen Sie einen Strich (    -    ) in die Tabelle ein, wenn die entsprechende Schranke nicht existiert.

  $ \max\,M$ $ \min\,M$ $ \sup\,M$ $ \inf\,M$
$ {\displaystyle{M=\left\{ \frac{n+3}{n} : n\in\mathbb{N} \right\}}}$
$ {\displaystyle{M=\left\{ \left(-\frac{1}{2}\right)^{\!n} : n\in\mathbb{N}
\right\}}}$
$ {\displaystyle{M=\left\{ \left(\frac{1}{2}\right)^{\!m} : m\in\mathbb{Z}
\right\}}}$
$ {\displaystyle{M=\left\{ q\in\mathbb{Q} : \sqrt{2}\leq q \leq {\rm {e}}
\right\}}}$     
$ {\displaystyle{M=\left\{\, \vert z-2 {\rm {i}}\,\vert : z\in\mathbb{R} \right\}}}$


Aufgabe 8:
Sind die angegebenen Aussagen für alle $ z, z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}$ gültig?

Aussage Ja Nein
$ {\displaystyle{\vert z \vert^2 = z^2}}$                  
$ {\displaystyle{ z_1\cdot\overline{z_2} = \overline{z_1}\cdot z_2}}$                  
$ {\displaystyle{\left\vert\, \overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\, \right\vert = \left\vert
z_1\cdot z_2 \right\vert}}$                  
$ {\displaystyle{\vert {\rm {i}} z \vert = \vert z \vert}}$                  
$ {\displaystyle{\vert (1-{\rm {i}} ) z \vert = \vert z\vert + \vert {\rm {i}} z \vert}}$                  
$ {\displaystyle{ \vert z_1+z_2+z_3 \vert \leq \vert z_1\vert+\vert z_2\vert+\vert z_3\vert }}$                       
$ {\displaystyle{ \vert z_1-z_2 \vert \leq \vert z_1\vert-\vert z_2\vert}}$                  
$ {\displaystyle{ \vert z_1+z_2 \vert \geq \bigl\vert \vert z_1 \vert - \vert z_2 \vert \bigr\vert}}$                  
$ {\displaystyle{{\rm {Re}}\ z = \frac{z+\overline{z}}{2}}}$                  
$ {\displaystyle{{\rm {Im}}\ z = \frac{z-\overline{z}}{2}}}$                  

Aufgabe 9:
Berechnen Sie Realteil und Imaginärteil der folgenden Zahlen:

  $ {\rm {Re}}\ z$ $ {\rm {Im}}\, z$
$ {\displaystyle{z=\overline{(1-2 {\rm {i}} )(2+{\rm {i}} )}}}$                  
$ {\displaystyle{z=\frac{5}{{\rm {i}}-2}}}$
$ {\displaystyle{z= {\rm {Im}}\,(1+2 {\rm {i}}
)-{\rm {i}}\,{\rm {Re}}\,(3-{\rm {i}} )}}$     
$ {\displaystyle{z=\sqrt{2}\,{\rm {e}}^{\,\frac{3}{2}\,\pi {\rm {i}}}}}$

(auf vier Dezimalstellen runden)


Aufgabe 10:
Welche der abgebildeten Teilmengen der Gaußschen Zahlenebene entsprechen den durch

        a)      $ {\displaystyle{M=\left\{
z\in\mathbb{C} : \ {\rm {Re}}\,(z^2) = 0 \right\}}}$          b)      $ {\displaystyle{M=\left\{
z\in\mathbb{C} : \ \frac{1}{2}\leq {\rm {Re}}\left(\frac{1}{z}\right)\leq
1 \right\}}}$

definierten Teilmengen von $ \mathbb{C}$?


Tragen Sie a und b ein. Nicht benötigte Kästchen bleiben frei.

\includegraphics[width=0.46\linewidth]{k11_bild1}     \includegraphics[width=0.46\linewidth]{k11_bild2}
    


\includegraphics[width=0.46\linewidth]{k11_bild3}     \includegraphics[width=0.46\linewidth]{k11_bild4}
    


\includegraphics[width=0.46\linewidth]{k11_bild5}     \includegraphics[width=0.46\linewidth]{k11_bild6}
    


Aufgabe 11:
Kreuzen Sie an: Wie lautet in $ \mathbb{C}$ die Definition von
,,$ (a_n)$ ist konvergent gegen $ a$`` ?

keine Angabe
$ \forall \ \varepsilon>0$ $ \forall \ n_\varepsilon\in\mathbb{N}$ $ \exists \ n>n_\varepsilon$ : $ \vert a_n-a \vert<\varepsilon$
$ \exists \ \varepsilon> 0$ $ \forall \ n_\varepsilon\in\mathbb{N}$ $ \exists \ n>n_\varepsilon$ : $ \vert a_n-a \vert<\varepsilon$
$ \exists \ n_\varepsilon\in\mathbb{N}$ $ \forall \ \varepsilon>0$ $ \forall \ n>n_\varepsilon$ : $ \vert a_n-a \vert<\varepsilon$
$ \forall \ \varepsilon>0$ $ \exists \ n_\varepsilon\in\mathbb{N}$ $ \forall \ n>n_\varepsilon$ : $ \vert a_n-a \vert<\varepsilon$


   

(Konzipiert von P. H. Lesky unter Mitwirkung von C. Apprich) automatisch erstellt am 23.2.2005