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Mathematik-Online-Test:

Komplexe Zahlen, Polynome, Vektorrechnung, lineare Algebra


Aufgabe 1:
Gegeben seien die Abbildung

$\displaystyle f: \mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C} , \quad
z\longmapsto z\,{\rm {Im}}\,z $

und die Gerade $ G:=\{ (1+2{\rm {i}} )\,t :
t\in\mathbb{R} \}\subseteq \mathbb{C}$.

Bestimmen Sie das Bild von $ G$ unter $ f$.

$ f(G)={\displaystyle{\Bigl\{ \Bigl(}}$ $ 1 \ +$ $ {\rm {i}} {\displaystyle{\Bigr) \ t}}$ $ :$ $ t\geq$ $ {\displaystyle{\Bigr\}}}$


Aufgabe 2:
Bestimmen Sie für jede der folgenden komplexen Gleichungen ihre Lösungen $ z_1$ und $ z_2$ (mit $ {\rm {Re}}\, z_1<{\rm {Re}}\,z_2$).
a)
$ z^2=2 {\rm {i}}$

$ z_1=$ $ +$ $ {\rm {i}}$,         $ z_2=$ $ +$ $ {\rm {i}}$.
b)
$ z^2-6 {\rm {i}} z -2 {\rm {i}}-9=0$
$ z_1=$ $ +$ $ {\rm {i}}$,         $ z_2=$ $ +$ $ {\rm {i}}$.


Aufgabe 3:
Gegeben sei das Polynom $ p(x):=2x^3+3x^2-6x+2$.
a)
Bestimmen Sie die rationale Nullstelle $ x_1$ von $ p$.          $ x_1=$
b)
Führen Sie für $ x=x_1$ das Horner-Schema durch:

    $ a_k$ $ 2$ $ 3$ $ -6$         $ 2$
    $ x_1=$            
                                      $ = \ p(x_1)$
c)
Berechnen Sie die übrigen Nullstellen von $ p$ (aufsteigend sortiert, vier Nachkommastellen).

$ x_2=$ ,         $ x_3=$ .


Aufgabe 4:

a)
Geben Sie den korrekten Ansatz für die reelle Partialbruchzerlegung der Funktion

$ f(x)={\displaystyle{\frac{12}{(x-1)(x-2)(x-5)}}}$
an und bestimmen Sie die Konstanten $ a$, $ b$ und $ c$.

keine Angabe
$ {\displaystyle{\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}}}$ $ {\displaystyle{\frac{ax^2}{x-1}+\frac{bx}{x-2}+\frac{c}{x-5}}}$
$ {\displaystyle{\frac{a}{(x-1)(x-2)}+\frac{b}{(x-1)(x-5)}+\frac{c}{(x-2)(x-5)}}}$ $ {\displaystyle{\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x-5}}}$

$ a=$ ,         $ b=$ ,         $ c=$ .
b)
Wie lautet der Ansatz für die reelle Partialbruchzerlegung der Funktion

$ {\displaystyle{g(x)=\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2x+2)(x-1)}}}$     ?
(Die Koeffizienten sollen nicht ausgerechnet werden.)

keine Angabe
$ {\displaystyle{\frac{a}{x^2+1}+\frac{b}{x^2+2x+2}+\frac{c}{x-1}}}$ $ {\displaystyle{\frac{a}{x-{\rm {i}}}+\frac{b}{x+{\rm {i}}}+\frac{c}{x-\sqrt{2}}+\frac{d}{x+\sqrt{2}}+\frac{e}{x-1}}}$
$ {\displaystyle{\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{cx+d}{x^2+2x+2}+\frac{e}{x-1}}}$ $ {\displaystyle{\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{c}{x-\sqrt{2}}+\frac{d}{x+\sqrt{2}}+\frac{e}{x-1}}}$


Aufgabe 5:
Sei $ {\cal{P}}$ der Vektorraum aller reellen Polynome. Geben Sie an, ob die folgenden Mengen Unterräume von $ {\cal{P}}$ sind (J für ,, ja``, N für ,,nein``).

  ist Unterraum
$ \{ p\in {\cal{P}} : p(0)=3 \}$
$ \{ p\in {\cal{P}} : p(3)=0 \}$
$ \{ p\in {\cal{P}} : {\rm {Grad}}\,p<4 \}$
$ \{ p\in {\cal{P}} : {\rm {Grad}}\,p=4 \}$
$ \{ p\in {\cal{P}} : p(0)=p(3) \}$
$ \{ p\in {\cal{P}} : {\rm {alle\ Nullstellen\ von}}\ p\ {\rm {sind\ reell}} \}$     
$ \{ p\in {\cal{P}} : p(x)=ax^2,\ {\text{f\uml ur\ ein}}\ a\in\mathbb{R} \}$
$ \{ p\in {\cal{P}} : p(x)=(x-a)^2,\ {\text{f\uml ur\ ein}}\ a\in\mathbb{R} \}$

Aufgabe 6:
Sei $ V:=\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} : a_n\in\mathbb{R} \ {\text{f\uml ur\ alle}} \
n\in\mathbb{N} \}$ der $ \mathbb{R}$-Vektorraum aller reellen Folgen mit der bekannten Addition und skalaren Multiplikation. Geben Sie an, ob die folgenden Abbildungen $ T$ linear sind (J für ,, ja``, N für ,,nein``).

  ist linear
$ T : \quad V\longrightarrow V , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto (a^2_n)_{n\in\mathbb{N}}$
$ T : \quad V\longrightarrow V , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto (3a_n)_{n\in\mathbb{N}}$
$ T : \quad V\longrightarrow \mathbb{R} , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto 2a_4-a_6$
$ T : \quad V\longrightarrow \mathbb{R} , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto 2a_4a_6$
$ T : \quad V\longrightarrow V , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto
(2+a_n)_{n\in\mathbb{N}}$     
$ T : \quad V\longrightarrow V , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto
(a_{n+1})_{n\in\mathbb{N}}$

Aufgabe 7:
Bestimmen Sie für die Gerade

$\displaystyle g: \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3\end{array}\right) +
t \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right),\quad
t\in\mathbb{R}
$

a)
einen Normalenvektor
b)
die Hesse-Normalform
c)
den Schnittwinkel mit der $ x$ -Achse
Antwort:
a)
$ (1$ , $ )^\mathrm{t}$
b)
$ x_1+$ $ x_2=$
c)
$ \pi/$
(auf 4 Nachkommastellen gerundet.)


Aufgabe 8:
Gegeben sei die Ebene $ E$ und die Gerade $ g$ :

$\displaystyle E:\quad 3x_1+x_2-x_3=2, \quad g: \quad\left(\begin{array}{c}
5\\ ...
...!\begin{array}{c}
3\\ \alpha+1 \\ 2\end{array}\!\right), \quad t\in \mathbb{R}
$

mit einem Parameter $ \alpha \in \mathbb{R}$ .
a)
Bestimmen Sie $ \alpha$ so, dass $ E$ und $ g$ parallel sind:         
b)
Berechnen Sie für dieses $ \alpha$ den Abstand von $ E$ und $ g$ .

Antwort:

a)
$ \alpha=$
b)
Abstand:

(auf vier Nachkommastellen gerundet.)


Aufgabe 9:
Geben Sie die Schnittgerade $ g$ der Ebenen

$\displaystyle E_1:\quad 2x_1-x_2-x_3=3 \qquad {\mbox{und}}
\qquad E_2:\quad x_1-x_2+x_3=0,
$

in Parameterdarstellung an.

Antwort:

$ g: \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
0
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) + t\left(
\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ 1$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right),$      $ t\in\mathbb{R}$


Aufgabe 10:

a)
Berechnen Sie:
$ {\displaystyle{\left< \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1+{\rm {i}}
\end{array}\righ...
... \left(\begin{array}{c} 1-{\rm {i}} \\ 2{\rm {i}}
\end{array}\right)\right> =}}$
b)
Berechnen Sie die angegebenen Normen für den Vektor

$\displaystyle v=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -2\end{array}\right) \in\mathbb{R}^3\,. $


$ \Vert v \Vert _1=$ ,          $ \Vert v \Vert _2=$ ,          $ \Vert v \Vert _\infty =$ .
(Alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet.)


Aufgabe 11:
Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen für alle $ x, y, z\in\mathbb{R}^3$ gültig sind (J für ,, ja``, N für ,,nein``).

$ \Vert x\times x \Vert _2 = \Vert x \Vert _2^2$         
$ x\times y = -(y\times x)$
$ \left< x\times y , z\right> = -\left< z\times y , x\right>$
$ \Vert x\times y \Vert _2 = \Vert x \Vert _2\,\Vert y \Vert _2\,\sin \sphericalangle\,(x, y)$
$ x\times y \, \perp \, y$
$ \Vert x \times y \Vert _2 = \Vert x \Vert _2 \times \Vert y \Vert _2$
$ x\times y \in \mathbb{R}$
$ \left< x\times y , z\right> = \Vert x \Vert _2\,\Vert y \Vert _2\,\Vert z \Vert _2$


   

(Konzipiert von P. H. Lesky unter Mitwirkung von C. Apprich) automatisch erstellt am 23.2.2005