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Mathematik-Online-Test:

Integration, Lineare Algebra


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V1   A2 V2   A3 V3   A4 V3   A5 V2 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen für beliebige reelle $ n$-Vektoren $ u$, $ v$ und beliebige reelle $ (n\times n)$-Matrizen $ A$, $ B$ richtig und welche falsch sind.

a) $ \operatorname{span}\left\{u,v\right\} =
\operatorname{span}\left\{2u,3u-4v\right\}$  keine Angabe wahr falsch
b) $ \operatorname{ker}A=\operatorname{ker}A^2$  keine Angabe wahr falsch
c) $ \operatorname{det}(2A)=2\operatorname{det}A$  keine Angabe wahr falsch
d) $ u^tA^tAu \geq 0$  keine Angabe wahr falsch
e) $ u^tv=0$ $ \Rightarrow$ $ u$ und $ v$ sind linear abhängig  keine Angabe wahr falsch
f) $ AB=BA$  keine Angabe wahr falsch

Aufgabe 2:
Geben Sie eine Stammfunktion der folgenden Integranden an und berechnen Sie die Integrale.
a) $ \displaystyle\int\limits_0^\pi \sin^3 x \cos x \, dx$                  b) $ \displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{x}\ln x \, dx$

Antwort:

a)
Stammfunktion:
$ a\cos^3x+c$          $ a\cos x+c$          $ a\sin^4x+c$          mit $ a=$

Wert des Integrals:

b)
Stammfunktion:
$ b_1x^{-1}\ln x+b_2x^{-1}+c$          $ b_1x^{3/2}\ln x+b_2x^{3/2}+c$          $ b_1x^4\ln x+b_2x^4+c$

mit $ b_1=$ ,         $ b_2=$

Wert des Integrals:

(auf vier Dezimalstellen gerundet)
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie für die Permutationen

$\displaystyle \pi = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
7 & 8 & 2 & 3 & 1 & 5 & 6 & 4
\end{pmatrix}\,,\quad \pi^{-1}\,, \quad \pi\circ\pi
$

die Zyklendarstellungen und das Vorzeichen.

Antwort:

Sortieren Sie in jedem Zyklus das kleinste Element an die erste Stelle und ordnen Sie die Zyklen aufsteigend nach diesem ersten Element.

$ \pi=$ keine Angabe ,
  $ (a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
$ a=$ , $ b=$ , $ c=$ , $ d=$ ,
$ e=$ , $ f=$ , $ g=$ , $ h=$
$ \sigma(\pi)=$

$ \pi^{-1}=$ keine Angabe ,
  $ (a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
$ a=$ , $ b=$ , $ c=$ , $ d=$ ,
$ e=$ , $ f=$ , $ g=$ , $ h=$
$ \sigma(\pi^{-1})=$

$ (\pi\circ\pi)=$ keine Angabe ,
  $ (a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
$ a=$ , $ b=$ , $ c=$ , $ d=$ ,
$ e=$ , $ f=$ , $ g=$ , $ h=$
$ \sigma(\pi\circ\pi)=$


Aufgabe 4:
Bestimmen Sie für

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 2 & -3\\ 0 & -1
\end{array}\righ...
...
\end{array}\right)\,,\quad
c=\left(\begin{array}{r} 4\\ -1
\end{array}\right)
$

a)
mit Hilfe der Normalengleichungen die Lösung $ x$ des Ausgleichsproblems $ \vert Ax-b\vert\rightarrow $min,
b)
die allgemeine Lösung $ y$ des LGS $ A^{\operatorname t}y=c$.

Lösung:

Normalengleichungen:  Lösung des Ausgleichsproblems:
$ \left(\rule{0cm}{1cm}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{1cm}\right)\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=
\left(\rule{0cm}{1cm}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{1cm}\right)$,
 
$ x=\left(\rule{0cm}{1cm}\right.$
$ \left)\rule{0cm}{1cm}\right.$


Lösung des LGS:
$ y=\left(\rule{0cm}{0.5cm}\right.$ $ -4$, , $ \left)\rule{0cm}{0.5cm}\right.^{\operatorname t}+
s\,\left(\rule{0cm}{0.5cm}\right.$ $ 2$, , $ \left)\rule{0cm}{0.5cm}\right.^{\operatorname t},\,s\in\mathbb{R}$

Aufgabe 5:
Bestimmen Sie für die Matrix

\begin{displaymath}A=\left(
\begin{array}{rrr}
3 & 0 & 0 \\
1 & 2 & -4 \\
-1 & 1 & -2
\end{array}\right)
\end{displaymath}

die Determinante, den Rang, die unterschiedlichen Eigenwerte $ \lambda_1$, $ \lambda_2$ und je einen dazugehörigen Eigenvektor $ u_1$, $ u_2$ sowie die Jordan-Normalform.

Lösung: Geben Sie die Blöcke in der Jordan-Form aufsteigend sortiert nach den zugehörigen Eigenwerten an.

$ \operatorname{det}A=$ $ \operatorname{Rang}A=$
$ \lambda_1=$ $ <\quad\lambda_2=$
$ u_1=\left(\rule{0cm}{.5cm}\right.$ ,$ 2$, $ \left.\rule{0cm}{.5cm}\right)^{\operatorname t}$
$ u_2=\left(\rule{0cm}{.5cm}\right.$ ,$ 1$, $ \left.\rule{0cm}{.5cm}\right)^{\operatorname t}$
        
$ J=\left(\rule{0cm}{1.5cm}\right.$
0
0
0 0
$ \left.\rule{0cm}{1.5cm}\right)$

   

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von M. Boßle und J. Hörner) automatisch erstellt am 9.6.2005