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Mathematik-Online-Test:

Quadriken, mehrdimensionale Analysis


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V2   A2 V1   A3 V3   A4 V1   A5 V1 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen für beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktionen $ f$ richtig und welche falsch sind.

a) $ \operatorname{grad} f^2 =
\left(\operatorname{grad}(f)\right)^2$  keine Angabe wahr falsch
b) $ x^2+y^2=1 $ beschreibt einen Kegel  keine Angabe wahr falsch
c) $ \left.\left(\operatorname{J}f\right)^{-1}\right\vert _x=
\left.\left(\operatorname{J} f^{-1}\right)\right\vert _{f(x)}$  keine Angabe wahr falsch
d) $ \operatorname{det}\left(\operatorname{H}f(x,y)\right) <0
\Rightarrow f$ hat kein Extremum bei $ (x,y)$  keine Angabe wahr falsch
e) Für die Richtungsableitung gilt $ \partial_{(a,b)} f = af_x+bf_y$  keine Angabe wahr falsch
f) $ \partial^{(3,2)}\left(x_1,x_2\right)^{(3,2)} =12$  keine Angabe wahr falsch

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix $ \operatorname{J} f$ für die Funktion

$\displaystyle f(x,y) =\left(\begin{array}{c}xy^2\\ x^3+y\end{array}\right)\,,
$

sowie an der Stelle $ (x,y)=(1,1)$ die Jacobi-Matrix der Abbildungen $ g=f\circ f$ und $ h=f+g$.

Lösung:

$ \left.\operatorname{J} g\right\vert _{(1,1)} = \left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)$,   $ \left.\operatorname{J} h\right\vert _{(1,1)} = \left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)$

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die quadratische Taylor-Approximation $ p(x,y)$ von
$ f(x,y)=e^{x+y}\cos(x)$ im Punkt $ (0,0)$ und schätzen Sie damit den Wert $ f(0.1,0.1)$.

Lösung:(Geben Sie alle Ergebnisse auf die vierte Nachkommastelle gerundet an)

$ p(x,y)=$ $ +$ $ x+$ $ y+$ $ x^2+$ $ xy+$ $ y^2$,          $ p(0.1,0.1)=$


Aufgabe 4:
Schreiben Sie die Quadrik

$\displaystyle Q:\ 5x_1^2-2x_1x_2+\alpha x_2^2=1$

in Matrixform und geben Sie den Typ der Quadrik in Abhängigkeit von dem Parameter $ \alpha\in\mathbb{R}$ an. Bestimmen Sie für $ \alpha=5$ die Hauptachsenrichtungen und die Normalform der Quadrik $ Q$.

Matrixform:
$ Q:\ x^{\operatorname t}\left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ \alpha$
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)x +
2\left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)^{\operatorname t}x + $ $ = 0$
Typ der Quadrik: mit $ b=$ gilt
für $ \alpha \in (-\infty,b)$: keine Angabe Punkt Gerade(n) Ellipse Hyperbel Parabel
für $ \alpha \in \left\{b\right\}$: keine Angabe Punkt Gerade(n) Ellipse Hyperbel Parabel
für $ \alpha \in (b,\infty)$: keine Angabe Punkt Gerade(n) Ellipse Hyperbel Parabel
   
Hauptachsenrichtungen: (Wählen Sie die zweite Komponente positiv)
  $ v_1=(-1$ , $ )^{\operatorname t}$,         $ v_2=(1$ , $ )^{\operatorname t}$
Normalform: (sortieren Sie die Koeffizienten aufsteigend)
  $ Q:\ $ $ w_1^2+$ $ w_2^2-1=0$

Aufgabe 5:
Skizzieren Sie für die Funktion

$\displaystyle f(x,y) = \left(4x^2+\frac{1}{3}y^2-1\right)y
$

die Nullstellenmenge, sowie die sich daraus ergebende Vorzeichenverteilung. Berechnen Sie $ f_x$ und $ f_y$ und bestimmen Sie alle kritischen Punkte von $ f$, sowie deren Typ.


Lösung: (Geben Sie alle Ergebnisse auf die vierte Nachkommastelle gerundet an)

Nullstellenmenge und Vorzeichenverteilung:         keine Angabe

\includegraphics[width=.3\linewidth]{a5_v1_l_bild} \includegraphics[width=.3\linewidth]{a5_v2_l_bild} \includegraphics[width=.3\linewidth]{a5_v3_l_bild}

Tragen Sie in die Tabelle alle kritischen Punkte von $ f$ ein und kreuzen Sie deren Typ an. Sortieren Sie die kritischen Punkte zunächst aufsteigend nach den $ x$-Werten und anschließend aufsteigend nach den $ y$-Werten.

kritischer Punkt   lokales Minimum lokales Maximum Sattelpunkt
$ ($,$ )$ keine Angabe
$ ($,$ )$ keine Angabe
$ ($,$ )$ keine Angabe
$ ($,$ )$ keine Angabe


   

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von M. Boßle und J. Hörner) automatisch erstellt am 6.7.2005