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Mathematik-Online-Test:

Gruppen, Vektorräume, Häufungspunkte, Definitionsmengen, komplexe Zahlen, euklidischer Algorithmus, Interpolationen


Aufgabe 1:
Sind die folgenden Abbildungen Gruppenhomomorphismen?

i) $ f:(\mathbb{C}\setminus\{0\},\cdot) \to (\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot), f(z) = \vert z\vert$  keine Angabe , ja, nein
ii) $ f:(\mathbb{R},+) \to (\mathbb{R},+), f(z) = z+1$  keine Angabe , ja, nein
iii) $ f:(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+) \to (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},+), f(z+6\mathbb{Z}) = 4z+8\mathbb{Z}$  keine Angabe , ja, nein
iv) $ f:(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+) \to (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},+)$   
  $ f(z+6\mathbb{Z}) = 8\mathbb{Z}$,    wenn z gerade   
  $ f(z+6\mathbb{Z}) = 2+8\mathbb{Z}$,    wenn z ungerade  keine Angabe , ja, nein

Aufgabe 2:
Sind die folgenden Mengen reelle Untervektorräume des reellen Vektorraums $ M=\{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\}$ mit den Operationen
$\displaystyle \big(f +g\big)(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x) + g(x)\,,\quad \forall f,g\in M$  
$\displaystyle \big(\alpha f\big)(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha f(x)\,,\quad \forall f\in M,\alpha\in \mathbb{R}$  

i) $ \{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\vert\, f(1) = 1\} $  keine Angabe , ja, nein
ii) $ \{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\vert\, f(0) = 0\} $  keine Angabe , ja, nein
iii) $ \{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\vert\, \exists k\in \mathbb{R}$    mit $ f(x) = kx\} $  keine Angabe , ja, nein
iv) $ \{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\vert\, \exists k\in \mathbb{R}$    mit $ f(x) = kx^2\} $  keine Angabe , ja, nein

Aufgabe 3:
Sei $ A\subseteq \mathbb{R}$ und $ b\in \mathbb{R}$. Der Punkt $ b$ heißt Häufungspunkt von $ A$, wenn

$\displaystyle \forall \varepsilon>0 \exists a \in A, a\neq b : \vert a-b\vert \leq \varepsilon
$

  1. Negieren Sie die obige Aussage.

  2. Sei $ A=\{ n^{-1} \vert n \in \mathbb{N}\}$. Sind $ 1$ und 0 Häufungspunkte von $ A$?

Antwort:

  1. keine Angabe
    $ \exists \varepsilon>0 \forall a\in A : \varepsilon< \vert b-a\vert$
    $ \forall \varepsilon>0 \exists a\in A : \vert a-b\vert \leq \varepsilon$
    $ \forall \varepsilon>0 \forall a\in A : \vert a-b\vert \geq \varepsilon$
    $ \exists \varepsilon>0 \exists a\in A : \varepsilon< \vert b-a\vert$
  2. 1:
    keine Angabe , ja , nein
    0:
    keine Angabe , ja , nein


Aufgabe 4:
Für $ a,b\in \mathbb{R}$ sei die Funktion

$\displaystyle f:\mathbb{R}_0^+ \longrightarrow\mathbb{R}_0^+ , f(x)=a+bx^2
$

gegeben. Bestimmen Sie die Menge $ D=\{ (a,b) \vert f(x)=a+bx^2\in\mathbb{R}_0^+\}\subseteq \mathbb{R}^2$ der Parameter, für die die Funktion definiert ist.

Bitte in jede Spalte eine Zahl eintragen und freilassen, wenn $ \pm \infty$ die Lösung sein soll.

$ D=\{(a,b): $
$ <$
$ \leq$
$ a$
$ <$
$ \leq$
,
$ <$
$ \leq$
$ b $
$ <$
$ \leq$
$ \}$

Bestimmen Sie die Teilmengen von $ D$, für die $ f$

i)
injektiv
$ \{(a,b): $
$ <$
$ \leq$
$ a$
$ <$
$ \leq$
,
$ <$
$ \leq$
$ b $
$ <$
$ \leq$
$ \}$
ii)
surjektiv
$ \{(a,b): $
$ <$
$ \leq$
$ a$
$ <$
$ \leq$
,
$ <$
$ \leq$
$ b $
$ <$
$ \leq$
$ \}$
iii)
bijektiv
$ \{(a,b): $
$ <$
$ \leq$
$ a$
$ <$
$ \leq$
,
$ <$
$ \leq$
$ b $
$ <$
$ \leq$
$ \}$
ist.
Aufgabe 5:
Sei $ z=a+\mathrm{i}\, b\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$. Berechnen Sie $ z^{-1}$ in der Darstellung $ z^{-1}=c+\mathrm{i}\, d$

Die erste von Null verschiedene Zahl in beiden Nennern ist jeweils auf $ 1$ zu normieren.

$ z=$
$ a^2$ $ +$ $ a$ $ +$ $ ab$ $ +$ $ b$ + $ b^2$

$ a^2$ $ +$ $ a$ $ +$ $ ab$ $ +$ $ b$ $ +$ $ b^2$
$ +$
$ a^2$ $ +$ $ a$ $ +$ $ ab$ $ +$ $ b$ + $ b^2$

$ a^2$ $ +$ $ a$ $ +$ $ ab$ $ +$ $ b$ $ +$ $ b^2$
$ \mathrm{i}$


Aufgabe 6:
Berechnen Sie $ \operatorname{ggT}\,(123,231)$ mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus:

Lösung:
$ \operatorname{ggT}(123,231)=$


Aufgabe 7:
Bestimmen Sie für die acht Stützstellen $ x_j=2\pi j/8$, $ j=0,\ldots,7$, die trigonometrischen Interpolationspolynome $ p$ zu den folgenden Daten $ (f_0,\ldots,f_7)$.

$\displaystyle {\bf a)} \quad (1, 0, 0, 0, 0 , 0 , 0 , 0) \qquad\qquad
{\bf b)} \quad (0, 1, 1, 0, 0 , 0 , 1 , 1)
$

Lösung: (Alle angaben auf vier Nachkommastellen runden)

a) $ +$ $ \sin x +$ $ \sin (2x) +$ $ \sin (3x) +$ $ \cos x +$ $ \cos (2x) +$ $ \cos (3x) +$ $ \cos (4x)$

b) $ +$ $ \sin x +$ $ \sin (2x) +$ $ \sin (3x) +$ $ \cos x +$ $ \cos (2x) +$ $ \cos (3x) +$ $ \cos (4x)$


Aufgabe 8:
Zeigen Sie, dass $ N=\{ [0],[2], [4]\}$ ein Normalteiler von $ (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$ ist.

Bestimmen Sie die zugehörige Faktorgruppe.

Lösung:

keine Angabe , $ (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+) / N \cong$      $ (\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+)$ ,      $ (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$ ,      $ (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},\cdot)$      $ (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+)$ ,      $ (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)$ ,      $ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+)$ ,      $ (\mathbb{Z}/\mathbb{Z},+)$


   

Die folgenden Aufgaben waren auch Teil der Klausur:


(Auszug aus Testat 1 zur Vorlesung Mathematik 1 für info/swt im WS 05/06) automatisch erstellt am 14.2.2006