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Mathematik-Online-Test:

Vektorrechnung, Test 3


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V4   A2 V-   A3 V1   A4 V-   A5 V-   A6 V-   A7 V- 
Variantenauswahl: - - - - -

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem.

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcrcrcc}
2x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & 0\...
...= & 1\\
3x_1 & + & 2x_2 & + & 4x_3 & = & 1\\
\end{array}
\end{displaymath}

Lösung:

$ x_1=$ ,      $ x_2=$ ,      $ x_3=$

(auf drei Dezimalstellen runden)


Aufgabe 2:
Im Parallelogramm $ ABCD$ bezeichne $ M$ den Mittelpunkt der Strecke $ \overline{BC}$ und $ S$ den Schnittpunkt der Strecke $ \overline{AM}$ mit der Diagonalen $ \overline{BD}$.

a)
In welchem Verhältnis teilt $ S$ die Diagonale $ \overline{BD}$?
b)
In welchem Verhältnis steht die Fläche des Parallelogramms $ ABCD$ zur Fläche des Dreiecks $ BMS$?

\includegraphics[width=.6\linewidth]{a1_bild.eps}

Antwort: (Angabe mit natürlichen Zahlen in vollständig gekürzter Form)

a)
Das Verhältnis $ \overline{BS} : \overline{SD}$ beträgt : .
b)
Das Verhältnis Fläche $ BMS$ : Fläche $ ABCD$ beträgt : .


Aufgabe 3:
Bestimmen Sie für die Vektoren

$\displaystyle \vec{a}= \begin{pmatrix}1 \\ -3\\ 2 \end{pmatrix} \; , \quad
\vec...
...0 \end{pmatrix} \; , \quad
\vec{c}= \begin{pmatrix}2 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix} \;
$

a) $ \vec{a}\cdot\vec{b}$ ,         b) $ (-\vec{b})\times\vec{a}$ ,         c) $ (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ ,         d) $ [\vec{c},\vec{b},\vec{a}]$ .

Antwort:
a),         b) $ \big($ ,, $ \big)^\mathrm{t}$ ,        c) $ \big($ ,, $ \big)^\mathrm{t}$ ,        d)


Aufgabe 4:
Bestimmen Sie für das Dreieck mit den Eckpunkten

$\displaystyle A=(2,-1,2),\quad B=(-1,5,-1),\quad C=(0,1,2)$

alle Seitenlängen, den Winkel $ \sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ und den Flächeninhalt.

Antwort:
$ \big\vert\overrightarrow{AB}\big\vert^2=$ ,     $ \big\vert\overrightarrow{BC}\big\vert^2=$ ,     $ \big\vert\overrightarrow{AC}\big\vert^2=$ ,     $ \sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\pi/$ .
Quadrat der Dreiecksfläche: .


Aufgabe 5:
Gegeben seien die Punkte $ P=(0,3,-2)$ , $ Q=(3,7,-1)$ und $ R=(1,-3,-1)$ , die Gerade $ g_1$ durch $ P$ und $ Q$ und die Gerade $ g_2$ durch $ R$ mit dem Richtungsvektor

$\displaystyle \vec{v}= \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \; .
$

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $ P$ von der Geraden $ g_2$ , sowie den Abstand der Geraden $ g_1$ von der Geraden $ g_2$ .

Antwort:

Abstand von $ P$ zu $ g_2$ : .

Abstand von $ g_1$ zu $ g_2$ : .


Aufgabe 6:
Gegeben sei die Ebene

$\displaystyle E: \quad \vec{x}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+
\alph...
... \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +
\beta \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \; .
$

a)
Bestimmen Sie die Gleichungsdarstellung der zu $ E$ parallelen Ebene $ F$ durch den Punkt $ A=(-4,2,2)$ .

b)
Welcher Punkt $ B$ der Ebene $ E$ besitzt den kleinsten Abstand zum Punkt $ A$ und wie groß ist dieser Abstand?

c)
Zeigen Sie, dass der Punkt $ C=(-3,0,4)$ in der Ebene $ F$ liegt und die Punkte $ A,B,C$ ein gleichschenkliges Dreieck bilden. Bestimmen Sie die Längen der Seiten, alle Innenwinkel und die Fläche des Dreiecks.

Antwort:

a)
$ F$ : $ 2x+$ $ y+$ $ z=$ .
b)
$ B=\Big($ , , $ \Big)$ , Abstand: .
c)
$ \big\vert\overrightarrow{AB}\big\vert^2=$ , $ \big\vert\overrightarrow{BC}\big\vert^2=$ , $ \big\vert\overrightarrow{CA}\big\vert^2=$ .
$ \sphericalangle (ABC)=\pi/$ , $ \sphericalangle (BCA)=\pi/$ , $ \sphericalangle (CAB)=\pi/$ .
Dreiecksfläche: /     (Angabe als vollständig gekürzter Bruch).

Aufgabe 7:
Gegeben sei die Gerade

$\displaystyle g: \quad \vec{x}=
\left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -1 \end{array} \right) +
t \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
$

und der Punkt $ P=(2,-1,1)$ .
a)
Berechnen Sie den Abstand des Punktes $ P$ von der Geraden $ g$ .
b)
Ermitteln Sie die Gleichungsdarstellung der Ebene $ E$ , die durch die Punkte $ A=(0,1,1)$ , $ B=(1,2,2)$ und $ C=(1,0,1)$ aufgespannt wird.
c)
Sei $ F$ die durch die Gerade $ g$ und den Punkt $ P$ aufgespannte Ebene. Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen $ E$ und $ F$ ?
d)
Berechnen Sie das Volumen des von $ A$ , $ B$ , $ C$ und $ D=(-3,0,1)$ aufgespannten Spats.

Antwort:

a)
Quadrierter Abstand: .
b)
$ E$ : $ x+$ $ y+$ $ z=$ .
c)
Schnittwinkel: $ \pi$ /.
d)
Volumen: .


   

(Autoren: Apprich/Höllig) automatisch erstellt am 11.1.2007