Mathematik-Online-Test: Vektorrechnung, Test 3

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	Vektorrechnung, Test 3

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Aufgabe 1:
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem.

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcrcrcc} 3x_1 & + & 2x_2 & + & 2x_3 & = & 2... ... & = & 3\\ -x_1 & + & 3x_2 & + & 4x_3 & = & 1 \end{array} \end{displaymath}$

Lösung:

, ,

(auf drei Dezimalstellen runden)

Aufgabe 2:
Im Parallelogramm

bezeichne

den Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$ und

den Schnittpunkt der Strecke $\overline{AM}$ mit der Diagonalen $\overline{BD}$ .

a): In welchem Verhältnis teilt die Diagonale $\overline{BD}$ ?
b): In welchem Verhältnis steht die Fläche des Parallelogramms zur Fläche des Dreiecks ?

$\includegraphics[width=.6\linewidth]{a1_bild.eps}$

Antwort: (Angabe mit natürlichen Zahlen in vollständig gekürzter Form)

a): Das Verhältnis $\overline{BS} : \overline{SD}$ beträgt : .
b): Das Verhältnis Fläche : Fläche beträgt : .

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie für die Vektoren

$\displaystyle \vec{a}= \begin{pmatrix}1 \\ -3\\ 2 \end{pmatrix} \; , \quad \vec... ...0 \end{pmatrix} \; , \quad \vec{c}= \begin{pmatrix}2 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix} \;$

a) $\vec{a}\cdot\vec{b}$ , b) $(-\vec{b})\times\vec{a}$ , c) $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ , d) $[\vec{c},\vec{b},\vec{a}]$ .

Antwort:
a), b) $\big($ ,, $\big)^\mathrm{t}$ , c) $\big($ ,, $\big)^\mathrm{t}$ , d)

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie für das Dreieck mit den Eckpunkten

$\displaystyle A=(2,-1,2),\quad B=(-1,5,-1),\quad C=(0,1,2)$

alle Seitenlängen, den Winkel $\sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ und den Flächeninhalt.

Antwort:
$\big\vert\overrightarrow{AB}\big\vert^2=$ , $\big\vert\overrightarrow{BC}\big\vert^2=$ , $\big\vert\overrightarrow{AC}\big\vert^2=$ , $\sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\pi/$ .
Quadrat der Dreiecksfläche: .

Aufgabe 5:
Gegeben seien die Punkte

und

, die Gerade

durch

und

und die Gerade

durch

mit dem Richtungsvektor

$\displaystyle \vec{v}= \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \; .$

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes

von der Geraden

, sowie den Abstand der Geraden

von der Geraden

Antwort:

Abstand von zu : .

Aufgabe 6:
Gegeben sei die Ebene

$\displaystyle E: \quad \vec{x}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+ \alph... ... \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \; .$

a): Bestimmen Sie die Gleichungsdarstellung der zu parallelen Ebene durch den Punkt .
b): Welcher Punkt der Ebene besitzt den kleinsten Abstand zum Punkt und wie groß ist dieser Abstand?
c): Zeigen Sie, dass der Punkt in der Ebene liegt und die Punkte ein gleichschenkliges Dreieck bilden. Bestimmen Sie die Längen der Seiten, alle Innenwinkel und die Fläche des Dreiecks.

Antwort:

a): : .
b): $B=\Big($ , , $\Big)$ , Abstand: .
c): $\big\vert\overrightarrow{AB}\big\vert^2=$ , $\big\vert\overrightarrow{BC}\big\vert^2=$ , $\big\vert\overrightarrow{CA}\big\vert^2=$ .
$\sphericalangle (ABC)=\pi/$ , $\sphericalangle (BCA)=\pi/$ , $\sphericalangle (CAB)=\pi/$ .
Dreiecksfläche: / (Angabe als vollständig gekürzter Bruch).

Aufgabe 7:
Gegeben sei die Gerade

$\displaystyle g: \quad \vec{x}= \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -1 \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

und der Punkt

a): Berechnen Sie den Abstand des Punktes von der Geraden .
b): Ermitteln Sie die Gleichungsdarstellung der Ebene , die durch die Punkte , und aufgespannt wird.
c): Sei die durch die Gerade und den Punkt aufgespannte Ebene. Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen und ?
d): Berechnen Sie das Volumen des von , , und aufgespannten Spats.