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Mathematik-Online-Test:

Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Vektorraum der Polynome, Schnitt von Untervektorräumen, Diagonalisierung


Aufgabe 1:
Sei $ A$ eine reelle $ n× n$ Matrix. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

i) $ A$ hat $ n$ Eigenwerte und $ n$ linear unabhängige Eigenvektoren. keine Angabe , wahr , falsch  
ii) $ A$ und $ A^{\top}$ haben die gleichen Eigenwerte. keine Angabe , wahr , falsch  
iii) Die Dimension des Kerns von $ A$ ist kleiner oder gleich der des Bildes. keine Angabe , wahr , falsch  
iv) Die Spalten der Matrix $ A$ sind ein Erzeugendensystems des Bildes von $ A$. keine Angabe , wahr , falsch  

Aufgabe 2:
Sei $ A$ eine reelle $ n× n$ Matrix und $ b\in \mathbb{R}^n$ . Welche der folgenden Aussagen sind äquivalent zur Lösbarkeit der Gleichung $ Ax = b$ ?
a)
$ \operatorname{Rang} A= \operatorname{Rang} (A\vert b)$
b)
$ A$ ist invertierbar
c)
$ b\in \operatorname{ker}{A}$
d)
Die Matrix $ (A\vert b)$ kann durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen auf Zeilenstufenform gebracht werden

Antwort:

a) äquivalent        nicht äquivalent                 b) äquivalent        nicht äquivalent

c) äquivalent        nicht äquivalent                 d) äquivalent        nicht äquivalent        


Aufgabe 3:
Es sei $ \mathcal{P}$ der reelle Vektorraum der Polynome.

$\displaystyle p_1(x) = 2x^3-3x^2+5x,\qquad p_2(x)=3x^3+2x^2-x,\qquad p_3(x)=x^3+18x^2-23x
$

Welche Dimension hat der von diesen Polynomen aufgespannte lineare Teilraum ?
Aufgabe 4:
Gegeben sind die Vektoren

$\displaystyle \vec{a}=(1,1,0,0),\qquad \vec{b}=(0,1,1,0),\qquad \vec{c}=(0,0,1,1)\qquad \textrm{ und }\quad \vec{d}=(1,0,0,1)
$

Bestimmen Sie eine Basis $ B$ des Durchschnitts der beiden durch die Vektoren $ \vec{a}$, $ \vec{b}$ bzw. $ \vec{c}$, $ \vec{d}$ aufgespannten linearen Räume.

Lösung:
Der oberste nicht verschwindende Eintrag ist auf $ 1$ zu normieren.

$ B = \{ $
% latex2html id marker 633
$ \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{moV...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.
$
% latex2html id marker 643
$ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{moV...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right)
$
$ \}$


Aufgabe 5:
Finden Sie eine Matrix $ S$ und eine Diagonalmatrix $ D$, mit denen die Gleichung $ D= S^{-1}AS$ für

$\displaystyle A=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & -3\\
0 & -2 & 2 & 0\\
0 & -2 & 3&0 \\
2& 0 & 0 & 4
\end{pmatrix}$

gilt. Hinweis: alle Eigenwerte sind ganze Zahlen mit Betrag kleiner 6.

Lösung:
Kleinster Eigenwert links oben eintragen, nach rechts unten ansteigend.

$ D=$
% latex2html id marker 1040
$ \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.
$
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
% latex2html id marker 1074
$ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right)
$
 
$ S=$
% latex2html id marker 1081
$ \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.
$
$ 1$
$ 1$
$ 1$
$ -2$
% latex2html id marker 1119
$ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo...
...awhtml}{6}\begin{rawhtml}
'' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right)
$
 


   

Die folgenden Aufgaben waren auch Teil der Klausur:


(Auszug aus Testat 2 zur Vorlesung Mathematik 1 für info/swt im WS 05/06) automatisch erstellt am 17.2.2006