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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1312: Lineare Abbildungen auf Polynomrämen

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Betrachte die Abbildungen

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathbb{R}[X] & \longrightarrow & \mathbb... ...mapsto & f(X)^2 \\ f(X) & \mapsto & f(f(X))\;. \\ \end{array}\end{displaymath}

1.
Entscheide, welche Abbildungen dieser Liste linear sind. Begründe jeweils.
2.
Sei $ \mathbb{R}[X]_{\leq 4}$ der Vektorraum über $ \mathbb{R}$ der Polynome von Grad $ \leq 4$ . Sei $ \varphi$ die Summe der linearen Abbildungen dieser Liste, jeweils eingeschränkt zu einem Endomorphismus von $ \mathbb{R}[X]_{\leq 4}$ . Wähle eine Basis von $ \mathbb{R}[X]_{\leq 4}$ und gib die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basis an.
3.
Gib eine Basis von $ \operatorname{Kern}\varphi$ und $ \operatorname{Bild}\varphi$ an. Ist $ \varphi$ injektiv? Ist $ \varphi$ surjektiv?
4.
Gib die Darstellungsmatrix von $ \varphi\circ\varphi$ bezüglich der Basis in 2. an.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

Lösungen:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 22.  8. 2006