Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Aufgabe 101 Variante 1: Grenzwert von Reihen

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	Aufgabe 101 Variante 1: Grenzwert von Reihen

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Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen die angegebenen Grenzwerte haben:

a) ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\: \frac{(-3)^n}{4^n} \;=\; -\frac{3}{7} }$ b) ${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\: \frac{3^n + (-2)^n}{6^n} \;=\; \frac{11}{4} }$

c) ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\: \frac{1}{4n^2 - 1} \;=\; \frac{1}{2} }$ d) ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\: \frac{1}{n\,(n+1)\,(n+2)} \;=\; \frac{1}{4} }$

e) ${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\: \left(\frac{1+{\rm {i}}}{2}\right)^n \;=\; 1+{\rm {i}} }$ f) ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\: \frac{\cos n\pi}{n} \;=\; -{\rm {ln}}\,2 }$

(Aus: Werner, WS 1992/93)

siehe auch:

Stichwort: Grenzwert

automatisch erstellt am 13. 12. 2007

a)	${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\: \frac{(-3)^n}{4^n} \;=\; -\frac{3}{7} }$	b)	${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\: \frac{3^n + (-2)^n}{6^n} \;=\; \frac{11}{4} }$
c)	${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\: \frac{1}{4n^2 - 1} \;=\; \frac{1}{2} }$	d)	${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\: \frac{1}{n\,(n+1)\,(n+2)} \;=\; \frac{1}{4} }$
e)	${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\: \left(\frac{1+{\rm {i}}}{2}\right)^n \;=\; 1+{\rm {i}} }$	f)	${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\: \frac{\cos n\pi}{n} \;=\; -{\rm {ln}}\,2 }$