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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1017: Vollständige Induktion, falscher Beweis

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Wir behaupten:

        ,,Für alle $ n\in \mathbb{N}$ gilt: $ 2n-1\leq 2^{n-1}$``,

und beweisen diese Aussage durch vollständige Induktion:

$ \bullet$ Induktionsanfang: Für $ n=1$ ist $ 2n-1=1=2^0$.

$ \bullet$ Induktionsannahme: Die Behauptung sei bewiesen für $ n\in \mathbb{N}$.

$ \bullet$ Induktionsschritt: Es ist $ 2(n+1)-1=(2n-1)+2$. Nach Induktionsannahme folgt

$\displaystyle (2n-1)+2\leq 2^{n-1}+2\leq 2^{n-1}+2^{n-1}=2^n. $

$ \bullet$ Induktionsschluss: Die Behauptung gilt für alle $ n\in \mathbb{N}$.

a) Überprüfen Sie die Gültigkeit der Aussage für $ n=1, 2, 3, 4$.
b) Finden Sie den Fehler in obigem Induktionsbeweis.

(Aus: Mathematik I für inf/swt, WS 2004/05)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 7.  6. 2005