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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1092: kritische Punkte, Taylor-Entwicklung, Niveaulinien und Orthogonaltrajektorien

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Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x,y) =x^{2}\, e^{y/3} (y-3) - \frac{1}{2}y^{2}, \qquad (x,y) \in \mathbb{R}^{2}.$

a)
Bestimmen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von $ f$ .
b)
Bestimmen Sie die kritischen Punkte von $ f$ und deren Typ.
c)
Geben Sie die Tangentialebene an die Fläche $ z=f(x,y)$ im Punkt $ (1,3,f(1,3))$ an.
d)
Bestimmen Sie für $ f$ die Taylor-Entwicklungen 4.Ordnung zu Entwicklungspunkten $ (0,0)$ und $ (0,3)$ durch Einsetzen einer bekannten Reihe. Wo konvergieren die entsprechenden (vollen) Taylor-Reihen?
e)
Skizzieren Sie die Niveaulinien der quadratischen Taylor-Entwicklung von $ f$ bei $ (0,0)$ . Berechnen und skizzieren Sie deren Orthogonaltrajektorien (gemeinsame Skizze !).
(Aus: HM Klausur, Herbst 1994)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 14.  2. 2008